Entrenamiento Cono 2018 P39

[Joacoini]

Demostrar que si $a,b,c,d\in [1,2]$ entonces$$\dfrac{a+b}{b+c}+\dfrac{c+d}{d+a}\leq 4\dfrac{a+c}{b+d}$$¿Cuándo vale la igualdad?

[Joacoini]

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Arranquemos multiplicando por los tres denominadores, como son todos positivos la desigualdad que nos queda.

$(a+b)(a+d)(b+d)+(c+d)(c+b)(b+d)\leq 4(a+c)(a+d)(c+b)$

Con igualdad si y solo si la anterior tambien es igualdad.

Usando que $b^2\leq 2b\leq b+2\leq ab+2$ por ser $b\leq 2$ y $1\leq a$

$(a+b)(b+d)=ab+ad+db+b^2\leq ab+2a+2b+b^2\leq ab+2a+2b+ab+2=2(a+1)(1+b)\leq 2(a+c)(c+b)$ (1)

Usando que $d^2\leq 2d\leq d+2\leq cd+2$ por ser $d\leq 2$ y $1\leq c$

$(c+d)(b+d)=cd+cb+bd+d^2\leq cd+2c+2d+d^2\leq cd+2c+2d+cd+2=2(1+c)(1+d)\leq 2(a+c)(a+d)$ (2)

Si multiplicamos la desigualdad (1) por $(a+d)$ y la (2) por $(c+b)$ y las sumamos obtenemos.
$(a+b)(a+d)(b+d)+(c+d)(c+b)(b+d)\leq 2(a+c)(a+d)(c+b)+2(a+c)(a+d)(c+b)=4(a+c)(a+d)(c+b)$

Lo que buscábamos, con igualdad si y solo si las desigualdades usadas son igualdades, pero en la desigualdad (1) se usa que $b\leq 2$ y $1\leq a$ y en (2) que $d\leq 2$ y $1\leq c$. Así que si hay una igualdad esta se da cuando $a=c=1$ y $b=d=2$, si remplazamos por estos valores en efecto nos queda la igualdad.