Entrenamiento Cono 2018 P41

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Joacoini

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Entrenamiento Cono 2018 P41

Mensaje sin leer por Joacoini »

Si $a,b,c\in [-1,1]$ son tales que $a+b+c+abc=0$, demostrar que$$a^2+b^2+c^2\geq 3(a+b+c)$$¿Cuándo vale la igualdad?
NO HAY ANÁLISIS.
Fedex

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Re: Entrenamiento Cono 2018 P41

Mensaje sin leer por Fedex »

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$\frac{a^2 + b^2 + c^2}{3} \geq \; ^3\sqrt{(abc)^2}$
Ahora si:
$^3\sqrt{(abc)^2} \geq a+b+c = -abc$
$(abc)^2 \geq -(abc)^3$
$(abc)^2(abc+1) \geq 0$
Cierto si:
$abc + 1 \geq 0$
$abc \geq -1$
Donde se cumple ya que $a,b,c$ pertecen a [$-1,1$].
$\frac{a^2 + b^2 + c^2}{3} \geq \; ^3\sqrt{(abc)^2} \geq a+b+c$
$a^2 + b^2 + c^2 \geq 3(a+b+c)$
Donde hay igualdad si $a^2 = b^2 = c^2$ y $abc = 0$ o $abc = -1$.
Si $abc = 0$ uno de ellos es $0$ y $a^2 = b^2 = c^2 = 0$.
Si $abc = -1$ como $a^2 = b^2 = c^2$, $a,b,c = \pm x$
$\pm x^3 = -1$ y $x = \mp 1$
Donde hay o tres $-1$ o dos $1$ y un $-1$
Si es el primer caso $a + b + c + abc = -4$ ABS.
Si es el segundo $a + b + c + abc = 0$.

Entonces hay igualdad para:
$(a,b,c) = (0,0,0), (1,1, -1), (1, -1, 1), (-1, 1, 1)$
This homie really did 1 at P6 and dipped.
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