Sean $x$ y $y$ números reales positivos tales que $x\neq y$ y además:$$\frac 1{1+x^2}+\frac 1{1+y^2}=\frac 2{1+xy}.$$Determine el menor valor posible de $\left (1+2x^2\right )\left (1+18y^2\right )$.
Ve que no pueden ser $0$, o el otro tambíen sería, y eso no puede.
$(1+x^2)(1+xy)+(1+y^2)(1+xy)=2(1+x^2)(1+y^2)$
$1+x^2+xy+x^3y+1+y^2+xy+xy^3=2+2x^2+2y^2+2x^2y^2$
$2xy+xy^3+x^3y=x^2+y^2+2x^2y^2$
$xy(x^2-2xy+y^2)=(x^2-2xy+y^2)$
$xy(x-y)^2=(x-y)^2$,
que es un absurdo, pues o $x=0$, o $y=0$, o $x=y$.
resolviendo la igualdad
$(1+y^2+1+x^2)(1+xy)=2(1+x^2)(1+y^2)$
$2+x^2+y^2+2xy+(x^2+y^2)xy=2+2(x^2+y^2)+2x^2y^2$
$(x^2+y^2)xy+2xy=(x^2+y^2)+2x^2y^2$
$(x^2+y^2)(xy-1)=2xy(xy-1)$
$(x^2+y^2-2xy)(xy-1)=0$
$(x-y)^2(xy-1)=0$
$x=y$ o $xy=1$
por dato $x \neq y$, luego $y=\frac 1 x$
reemplazando $y=\frac 1 x$ en la pregunta y aplicando C-S
$(1+x^2+x^2)(1+(3\frac{1}{x})^2+(3\frac{1}{x})^2)\geq(1+3x\frac{1}{x}+3x\frac{1}{x})^2$
$(1+x^2+x^2)(1+(3\frac{1}{x})^2+(3\frac{1}{x})^2)\geq49$
vale la igualdad cuando $1=\frac x{\frac3{x}}$, siendo el menor valor 49.
Última edición por Nando el Dom 23 Sep, 2018 9:42 pm, editado 1 vez en total.
Con lo que hiciste vos llegamos a que $y=x$ o $y=\frac{1}{x}$. Luego, como $x\neq y$, queremos minimizar $f(x)=1+\frac{18}{x^2}+2x^2+36$. Supongamos que $\exists x:f(x)<49$, luego $\frac{18}{x^2}+2x^2<12\Rightarrow x^4-6x^2+9<0\Rightarrow \left (x^2-3\right )^2<0$, lo que es absurdo pues $\left (x^2-3\right )^2\ge 0\forall x\in \mathbb{R}^+$. El absurdo provino de suponer $\exists x:f(x)<49$, luego $f(x)\ge 49\forall x\in \mathbb{R}^+$, con la igualdad cuando $x=\sqrt{3}$. Entonces el menor valor posible de $\left (1+x^2\right )\left (1+18y^2\right )$ es $49$ y se obtiene cuando $(x,y)=\left (\sqrt{3},\frac{1}{\sqrt{3}}\right )$
Con lo que hiciste vos llegamos a que $y=x$ o $y=\frac{1}{x}$. Luego, como $x\neq y$, queremos minimizar $f(x)=1+\frac{18}{x^2}+2x^2+36$. Supongamos que $\exists x:f(x)<49$, luego $\frac{18}{x^2}+2x^2<12\Rightarrow x^4-6x^2+9<0\Rightarrow (x^2-3)^2<0$, lo que es absurdo pues $(x^2-3)^2\ge 0\forall x\in \mathbb{R}^+$. El absurdo provino de suponer $\exists x:f(x)<49$, luego $f(x)\ge 49\forall x\in \mathbb{R}^+$, con la igualdad cuando $x=\sqrt{3}$. Entonces el menor valor posible de $(1+x^2)(1+18y^2)$ es $49$ y se obtiene cuando $(x,y)=(\sqrt{3},\frac{1}{\sqrt{3}})$
