IBERO 2018 - P1

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Violeta

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Mensaje sin leer por Violeta » Mar 25 Sep, 2018 5:56 pm

Para cado entero $n \geq 2$, hallar todas las soluciones enteras del sistema de ecuaciones: ($S=\sum x_i$)

$$x_i = ( S - x_i)^{2018}, 1 \leq i \leq n$$
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

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Gianni De Rico

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Re: IBERO 2018 - P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mar 25 Sep, 2018 6:18 pm

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Tenemos que $x_i\ge 0\forall i$ pues es una potencia $2018$-ésima.
Afirmo que si $\exists i:x_i=0$ entonces $x_i=0\forall i$. En efecto, como $x_i=0$ tenemos $0=(S-0)^{2018}\Rightarrow S=0$, supongamos que $\exists j\in \mathbb{N}:j\le n\wedge x_j>0$, como $x_i\ge 0\forall i$ resulta $S>0$, absurdo. El absurdo provino de suponer la existencia de $j$, luego, $x_i=0\forall i$.
Supongamos entonces que $x_i>0\forall i$, entonces $x_i\ge 1\forall i$. Luego $x_1=(x_2+\sum \limits _{i=3}^n x_i)^{2018}$. Ahora como $n\ge 2$ tenemos $x_2=(S-x_2)^{2018}=(x_1+\sum \limits _{i=3}^n x_i)^{2018}=((x_2+\sum \limits _{i=3}^n x_i)^{2018}+\sum \limits _{i=3}^n x_i)^{2018}>x_2$ absurdo. El absurdo provino de suponer que $x_i>0\forall i$, luego, $\exists i:x_i=0\Rightarrow x_i=0\forall i$. Queda demostrado que la única solución es $x_i=0\forall i$ o $x_1=x_2=1$ si $n=2$.
[math]

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Fran5

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Re: IBERO 2018 - P1

Mensaje sin leer por Fran5 » Mar 25 Sep, 2018 7:51 pm

Tu $S$ quemó el problema. :P
Era mas lindo escribirlo con el enunciado original
Spoiler: mostrar
Sea $x_m = \min \{ x_i \}$

Luego $x_m = (S-x_m)^{2018} \geq ((n-1)x_m)^{2018} = (n-1)^{2018}x_m^{2018} \geq 0$

De este modo es claro que para $n \geq 3$ la única solución verifica $x_m = 0 \Rightarrow S = 0 \Rightarrow x_i = 0$.

Para $n=2$ tenemos $x_m = x_m^{2018}$, luego queda $x_1=x_2=1$ ó $x_1=x_2 = 0$
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Gianni De Rico

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Re: IBERO 2018 - P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mar 25 Sep, 2018 9:06 pm

No creo que lo haya quemado, pero sí, era más lindo el enunciado original
[math]

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Joacoini

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Re: IBERO 2018 - P1

Mensaje sin leer por Joacoini » Mar 25 Sep, 2018 11:10 pm

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Supongamos que existen $x_a$ y $x_b$ tales que $x_a<x_b\Rightarrow (S-x_a)^{2018}<(S-x_b)^{2018}\Rightarrow S-x_a<S-x_b\Rightarrow -x_a<-x_b\Rightarrow x_a>x_b$ Contradicción, luego $x_i=x \forall i$.

El problema nos pide encontrar las raíces enteras del polinomio $(n-1)^{2018}x^{2018}-x$.
Se ve que $0$ es raíz $\forall n$ por lo que podemos dividir el polinomio por $x$ para buscar las siguientes raíces.
$(n-1)^{2018}x^{2017}-1=0\Rightarrow (n-1)^{2018}x^{2017}=1$

Si $n=2\Rightarrow x^{2017}=1\Rightarrow x=1$
Si $n>2$, $(n-1)^{2018}$ tiene al menos un factor primo $p$ y como $x^{2017}$ es entero, $p|1$ cosa que no pasa.

En conclusión $x_i=0 \forall i$ y $\forall n$ y $x_i=1\forall i$ para $n=2$
NO HAY ANÁLISIS.

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