Para cado entero $n\geq 2$, hallar todas las soluciones enteras del sistema de ecuaciones: ($S=\sum x_i$)$$x_i=\left (S-x_i\right )^{2018},\quad 1\leq i\leq n$$
Para todo [math]k, existen [math]k primos en sucesión aritmética.
Tenemos que $x_i\ge 0\forall i$ pues es una potencia $2018$-ésima.
Afirmo que si $\exists i:x_i=0$ entonces $x_i=0\forall i$. En efecto, como $x_i=0$ tenemos $0=(S-0)^{2018}\Rightarrow S=0$, supongamos que $\exists j\in \mathbb{N}:j\le n\wedge x_j>0$, como $x_i\ge 0\forall i$ resulta $S>0$, absurdo. El absurdo provino de suponer la existencia de $j$, luego, $x_i=0\forall i$.
Supongamos entonces que $x_i>0\forall i$, entonces $x_i\ge 1\forall i$. Luego $x_1=(x_2+\sum \limits _{i=3}^n x_i)^{2018}$. Ahora como $n\ge 2$ tenemos $x_2=(S-x_2)^{2018}=\left (x_1+\sum \limits _{i=3}^n x_i\right )^{2018}=\left (\left (x_2+\sum \limits _{i=3}^n x_i\right )^{2018}+\sum \limits _{i=3}^n x_i\right )^{2018}>x_2$ absurdo. El absurdo provino de suponer que $x_i>0\forall i$, luego, $\exists i:x_i=0\Rightarrow x_i=0\forall i$. Queda demostrado que la única solución es $x_i=0\forall i$ o $x_1=x_2=1$ si $n=2$.
Supongamos que existen $x_a$ y $x_b$ tales que $x_a<x_b\Rightarrow (S-x_a)^{2018}<(S-x_b)^{2018}\Rightarrow S-x_a<S-x_b\Rightarrow -x_a<-x_b\Rightarrow x_a>x_b$ Contradicción, luego $x_i=x \forall i$.
El problema nos pide encontrar las raíces enteras del polinomio $(n-1)^{2018}x^{2018}-x$.
Se ve que $0$ es raíz $\forall n$ por lo que podemos dividir el polinomio por $x$ para buscar las siguientes raíces.
$(n-1)^{2018}x^{2017}-1=0\Rightarrow (n-1)^{2018}x^{2017}=1$
Si $n=2\Rightarrow x^{2017}=1\Rightarrow x=1$
Si $n>2$, $(n-1)^{2018}$ tiene al menos un factor primo $p$ y como $x^{2017}$ es entero, $p|1$ cosa que no pasa.
En conclusión $x_i=0 \forall i$ y $\forall n$ y $x_i=1\forall i$ para $n=2$