IMO 2000 - P2

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Gianni De Rico

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IMO 2000 - P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 13 Dic, 2018 12:48 pm

Sean $a,b,c$ reales positivos tales que $abc=1$. Demostrar que $(a-1+\frac{1}{b})(b-1+\frac{1}{c})(c-1+\frac{1}{a})\leqslant 1$.
[math]

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Turko Arias

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Re: IMO 2000 - P2

Mensaje sin leer por Turko Arias » Dom 16 Dic, 2018 8:20 pm

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Lema: para toda terna $(a,b,c)$ de reales positivos tales que $abc=1$, existen reales positivos $f, g, h$ tales que $a=\frac{f}{g}$, $b=\frac{g}{h}$ y $c=\frac{h}{f}$.
Demostración: sean $d$ y $e$ dos reales positivos tales que $a=\frac{d}{e}$ y tenemos entonces $\frac{dbc}{e}=1$, de donde $b=\frac{e}{cd}$. Por otro lado, $c=\frac{cd}{d}$ y nos queda que la terna $(f,g,h)=(d,e,cd)$ cumple lo pedido.

Reemplazando ahora en nuestra igualdad con $a=\frac{f}{g}$, $b=\frac{g}{h}$ y $c=\frac{h}{f}$ nos queda:

$(a-1+\frac{1}{b})(b-1+\frac{1}{c})(c-1+\frac{1}{a})=(\frac{f}{g}-1+\frac{h}{g})(\frac{g}{h}-1+\frac{f}{h})(\frac{h}{f}-1+\frac{g}{f})=(\frac{f+h-g}{g})(\frac{f+g-h}{h})(\frac{g+h-f}{f})$ $(1)$
Y ahora bien, como dijo nuestro querido Euclides en su sexto postulado "si alguna vez están resolviendo un problema de una IMO y les queda algo cíclico de la pinta $x+y-z$ prueben ver si es posible hacer la sustitución de Ravi", y eso es lo que vamos a hacer :idea: :idea: :shock: :shock: :
Notemos que de las desigualdades
$f+g>h$
$f+h>g$
$g+h>f$
Como máximo se va a incumplir una. Si una se incumple entonces exactamente uno de los factores de $(\frac{f+h-g}{g})(\frac{f+g-h}{h})(\frac{g+h-f}{f})$ va a ser no positivo, luego, toda la expresión va a ser no positiva, y por ende la desigualdad vale.
Ahora supongamos que no se incumple ninguna, luego $f, g, h$ son los lados de un triángulo, por lo que haciendo la Sustitución de Ravi, concluímos que existen reales positivos $x, y, z$ tales que $f=x+y$, $g=y+z$, $h=x+z$, sustituyendo ahora en $(1)$ nos queda que hay que probar:
$(\frac{2x}{y+z})(\frac{2y}{x+z})(\frac{2z}{x+y})\leqslant 1$, o, equivalentemente, $8xyz \leqslant (x+y)(y+z)(x+z)$.
Ahora bien, por AM-GM tenemos que $2\sqrt{xy} \leqslant x+y$, $2\sqrt{yz} \leqslant y+z$, $2\sqrt{xz} \leqslant x+z$ y multiplicando las tres desigualdades tenemos lo pedido $\blacksquare$
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