OMCC 2019 - P5

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Gianni De Rico

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Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 22 Jun, 2019 4:33 pm

Sean $a$, $b$ y $c$ números reales positivos tales que $a+b+c=1$.
Demostrar que $$a\sqrt{a^2+6bc}+b\sqrt{b^2+6ca}+c\sqrt{c^2+6ab}\leqslant \frac{3\sqrt{2}}{4}$$
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jhn

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Re: OMCC 2019 - P5

Mensaje sin leer por jhn » Dom 23 Jun, 2019 4:46 pm

Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz
$$ a\sqrt{a^2+6bc}+b\sqrt{b^2+6ac}+c\sqrt{c^2+6ab}\le \sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{a^2+b^2+c^2+6(bc+ca+ab)}. $$
Sea $p=ab+bc+ca$. Entonces $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2p$, de donde $a^2+b^2+c^2=1-2p$ y
$a^2+b^2+c^2+6(bc+ca+ab)=1+4p$, y
$$ a\sqrt{a^2+6bc}+b\sqrt{b^2+6ac}+c\sqrt{c^2+6ab}\le \sqrt{(1-2p)(1+4p)}. $$
Finalmente
$$ (1-2p)(1+4p)=1+2p-8p^2=\frac{9}{8}-(2\sqrt{2}p-\frac{\sqrt{2}}{4})^2\le \frac{9}{8},$$
de donde
$$ a\sqrt{a^2+6bc}+b\sqrt{b^2+6ac}+c\sqrt{c^2+6ab}\le \sqrt{\frac{9}{8}}=\frac{3\sqrt{2}}{4}. $$
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Sandy

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Re: OMCC 2019 - P5

Mensaje sin leer por Sandy » Jue 27 Jun, 2019 12:36 am

En conjunto con @Joacoini
Spoiler: mostrar
Elevando ambos miembros al cuadrado (podemos hacerlo porque ambos son positivos)

$(a\sqrt{a^2+6bc}+b\sqrt{b^2+6ac}+c\sqrt{c^2+6ab})^2\le \frac{9}{8}$

Por Cauchy-Schwarz

$(a\sqrt{a^2+6bc}+b\sqrt{b^2+6ac}+c\sqrt{c^2+6ab})^2 ≤ (a^2+b^2+c^2)[a^2+b^2+c^2+6(bc+ca+ab)]$

Digamos que $a^2+b^2+c^2=n$

$n[n+6(bc+ac+ab)]≤\frac{9}{8}$

Veamos que

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ac+bc+ab) \Rightarrow 2(ac+bc+ab)=(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)=1-n$

$n\{n+3.[2(bc+ac+ab)]\}≤\frac{9}{8}$

$n[n+3.(1-n)]≤\frac{9}{8}$

$n(3-2n)≤\frac{9}{8}$

$n(3-2n)-\frac{9}{8}≤0$

$3n-2n^2-\frac{9}{8}≤0$

Pero $∆=3^2-4(-2)(-\frac{9}{8})=0$

Cómo la parábola es cóncava, esto implica que $3n-2n^2-\frac{9}{8}≤0$ que es lo que queríamos mostrar
Última edición por Sandy el Mar 09 Jul, 2019 5:43 pm, editado 1 vez en total.
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Gianni De Rico

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Re: OMCC 2019 - P5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 27 Jun, 2019 2:05 am

Sandy escribió:
Jue 27 Jun, 2019 12:36 am
Spoiler: mostrar
la parábola es decreciente
Mínimo comentario técnico
Spoiler: mostrar
Una parábola no es decreciente o creciente. Fijate que si tenés una ecuación de la forma $ax^2+bx+c$ entonces si $x<x_v$ la parábola es creciente (si $a<0$), y es decreciente si $x>x_v$ (obviamente esto se invierte si $a>0$).
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Joacoini

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Re: OMCC 2019 - P5

Mensaje sin leer por Joacoini » Jue 27 Jun, 2019 2:34 am

Parábola triste :cry:
2  
NO HAY ANÁLISIS.

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