Torneo de las Ciudades - Octubre 2015 - NM P1

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Gianni De Rico

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Torneo de las Ciudades - Octubre 2015 - NM P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 06 Jul, 2019 3:55 pm

Una progresión geométrica está formada por $37$ enteros positivos. El primer y el último término son coprimos. Demostrar que el término en la posición $19$ es de la forma $a^{18}$ para algún entero positivo $a$.
Queda Elegantemente Demostrado

BrunZo

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Re: Torneo de las Ciudades - Octubre 2015 - NM P1

Mensaje sin leer por BrunZo » Dom 07 Jul, 2019 5:10 pm

Solución:
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Es claro que la razón $r$ es racional. Si $r=\frac{p}{q}$ con $p$ y $q$ coprimos, entonces $a_1=q^{36}\cdot x$ y $a_{37}=p^{36}\cdot x$. Pero como $a_1$ y $a_{37}$ son coprimos, entonces $x=1$ y $a_{19}=p^{18}\cdot q^{18}=(pq)^{18}$. (Notar que el problema también vale para $2n+1$ y $n+1).

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