Problema 6 Nivel 3 Río 2019

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Sandy

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Problema 6 Nivel 3 Río 2019

Mensaje sin leer por Sandy » Mar 10 Dic, 2019 1:26 pm

Sea $α>1$ un número real tal que la sucesión $a_n=α ⌊α^n⌋-⌊α^{n+1}⌋$ con $n≥1$ es periódica, es decir, existe un entero positivo $p$ tal que $a_{n+p}=a_n$ para todo $n$.

Demostrar que $α$ es entero.

Mijail
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Re: Problema 6 Nivel 3 Río 2019

Mensaje sin leer por Mijail » Sab 04 Ene, 2020 5:19 pm

Buen problema
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Primero veamos lo que pasa con la secuencia de los $a_i$ y lo que pasa con el periodo el cual sera $p$ entonces tenemos que: $a_n=a_{n+p}$ esto implica que $$\alpha \cdot \left \lfloor \alpha ^n\right \rfloor -\left \lfloor \alpha ^{n+1}\right \rfloor =\alpha \cdot \left \lfloor \alpha ^{n+p}\right \rfloor -\left \lfloor \alpha ^{n+p+1}\right \rfloor$$ Entonces tenemos que: $$\alpha \left (\left \lfloor \alpha ^{n+p}\right \rfloor -\left \lfloor \alpha ^n\right \rfloor \right )=\left \lfloor \alpha ^{n+p+1}\right \rfloor -\left \lfloor \alpha ^{n+1}\right \rfloor$$ Ahora de aqui es facil ver que al hacer una telescopica fijando un $n$ como $n_0$ (Este es cualquier entero positivo) y luego variando el $n= n_0,n_0+1,\ldots$ obtenemos que: $$\alpha ^k\left (\left \lfloor \alpha ^{n_0+p}\right \rfloor -\left \lfloor \alpha ^{n_0}\right \rfloor \right )=\left \lfloor \alpha ^{n_0+p+k}\right \rfloor -\left \lfloor \alpha ^{n_0+k}\right \rfloor$$ Entonces de aqui es facil ver que si el valor $\left \lfloor \alpha ^{n_0+p}\right \rfloor -\left \lfloor \alpha ^{n_0}\right \rfloor =M$ el cual es un valor fijo no es cero entonces la parte de la derecha tampoco es cero y por ende $\alpha ^k$ es un racional para todo entero positivo $k$ luego de esto claramente $\alpha$ es racional y si lo expresamos como $\alpha =\frac{a}{b}$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos coprimos tenemos que $\left (\frac{a}{b}\right )^k\cdot M$ siempre es un entero porque es igual a $\left \lfloor \alpha ^{n_0+p+k}\right \rfloor -\left \lfloor \alpha ^{n_0+k}\right \rfloor$ de esto como $a$ y $b$ son coprimos tenemos que $b^k$ divide siempre a $M$ para cualquier entero positivo $k$ como $M$ es un entero distinto de cero esto implica que $b$ sea 1 entonces $\alpha$ es un entero. :mrgreen:
Ahora el problema aun no acaba porque debemos asegurar que el $M$ no sea cero lo cual lo podemos hacer al considerar un periodo muy grande y que el $n_0=1$ ya que como $\alpha >1$ existe un entero positivo $S$ tal que $\alpha ^S>\alpha +10000$ y solo nos basta tomar un periodo mas grande que $S$

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