Rioplatense 2009 N3 P1

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Joacoini

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Rioplatense 2009 N3 P1

Mensaje sin leer por Joacoini » Mar 17 Dic, 2019 6:40 pm

Hallar todas las parejas $(a, b)$ de números reales con la siguiente propiedad:

Dados los números reales $c$ y $d$, si las ecuaciones $$x^2+ax+1=c\quad \quad \text y\quad \quad x^2+bx+1=d$$ tienen raíces reales, entonces la ecuación $$x^2+(a+b)x+1=cd$$ tiene raíces reales.
NO HAY ANÁLISIS.

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Dauphineg

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Re: Rioplatense 2009 N3 P1

Mensaje sin leer por Dauphineg » Mar 14 Jul, 2020 10:15 pm

Spoiler: mostrar
Sabemos que para que una ecuación cuadrática tenga soluciones reales es condición necesaria y suficiente que su discriminante sea mayor o igual que $0$
Se quieren encontrar todos lo pares de números reales $\left ( a,b \right )$ tales que es verdadera la siguiente propiedad
$P$ : Para cualquier par de números reales $\left ( c,d \right )$, si $a^{2}-4.\left ( 1-c\right )\geq 0$ y $b^{2}-4.\left ( 1-d\right )\geq 0\Rightarrow \left ( a+b \right )^{2}-4.\left ( 1-cd\right )\geq 0 $
o equivalentemente $P$ : Para cualquier par de números reales $\left ( c,d \right )$, si $c\geq 1-\frac{a^{2}}{4}$ y $d\geq 1-\frac{b^{2}}{4} \Rightarrow cd\geq 1-\frac{\left ( a+b \right )^{2}}{4}$
Si $b$ es cualquier real y $a$ es tal que $\left | a \right |> 2\Rightarrow \left | a \right |^{2}> 4\Rightarrow a^{2}> 4\Rightarrow 1-\frac{a^{2}}{4}< 0$
Tomando $d$ como el mayor de los números del conjunto $\begin{Bmatrix}
1-\frac{b^{2}}{4};-\frac{\left ( a+b \right )^{2}}{4-a^{2}}
\end{Bmatrix}$ tendremos que $d\geq 1-\frac{b^{2}}{4}$ y también $d\geq -\frac{\left ( a+b \right )^{2}}{4-a^{2}}$
Luego si además tomamos $c=1-\frac{a^{2}}{4}$ se habrán cumplido las $2$ hipótesis de $P$ para estos valores de $c$ y $d$ tomados, pero veamos que la tesis no se cumplirá: Teniendo en cuenta que $c$ es negativo y que $d\geq -\frac{\left ( a+b \right )^{2}}{4-a^{2}}$ si multiplicamos ambos miembros por $c$ tendremos
$c.d\leq -\frac{\left ( a+b \right )^{2}}{4-a^{2}}.c=-\frac{\left ( a+b \right )^{2}}{4-a^{2}}.\left ( 1-\frac{a^{2}}{4} \right ) =-\frac{\left ( a+b \right )^{2}}{4}< 1-\frac{\left ( a+b \right )^{2}}{4}$ y quedaría probado, ademas es claro que lo mismo ocurriría si $a$ y $b$ invirtiesen los roles, así que hemos llegado a que $\left | a \right |\leq 2$ y $\left | b \right |\leq 2$ y en lo que sigue vamos a dividir los casos en $2$
Primer caso: $a.b< 0$, uno de ellos es positivo y el otro negativo. Notar que una pareja $\left ( a,b \right )$ cumple la propiedad si y solo si $\left ( b,a \right )$ cumple la propiedad, así que supongamos sin perdida de generalidad que $a<b$, o sea $-2\leq a< 0$ y $0< b\leq 2$ y de esto llegamos a que $-4\leq ab< 0\Rightarrow -8< ab< 0 \Rightarrow 0< ab+8\Rightarrow 0> \left ( ab+8 \right ).\left (ab \right )\Rightarrow
0>\left ( ab \right )^{2}+8.ab\Rightarrow -8ab> \left ( ab \right )^{2}\Rightarrow \frac{-2ab}{4}> \frac{\left ( ab \right )^{2}}{16}(*)$
Tomando $c=1-\frac{a^{2}}{4}$ y $d=1-\frac{b^{2}}{4}$ tendremos $c.d= 1-\frac{a^{2}}{4}-\frac{b^{2}}{4}+\frac{\left ( ab \right )^{2}}{16} \underset{(*)}{< } 1-\frac{a^{2}}{4}-\frac{b^{2}}{4}-\frac{2ab}{4}=1-\frac{\left ( a+b \right )^{2}}{4}$, se cumplen las $2$ hipótesis de $P$ para estos valores de $c$ y $d$ tomados, pero no la tesis, no hay parejas entonces hasta ahora.
Segundo caso: $ab\geq 0\Rightarrow \frac{-2ab}{4}\leq 0\leq \frac{\left ( ab \right )^{2}}{16} (**) $
Como $\left | a \right |\leq 2$ y $\left | b \right |\leq 2 \Rightarrow 1-\frac{a^{2}}{4}\geq 0$ y $ 1-\frac{b^{2}}{4}\geq 0$, luego si $c$ y $d$ son dos números reales cualesquiera que cumplen las hipótesis de la propiedad $P$, osea $c\geq 1-\frac{a^{2}}{4}\geq 0$ y $d\geq 1-\frac{b^{2}}{4}\geq 0$
entonces multiplicando tenemos $c.d\geq \left (1-\frac{a^{2}}{4} \right ).\left (1-\frac{b^{2}}{4} \right )=1-\frac{a^{2}}{4}-\frac{b^{2}}{4}+\frac{\left ( ab \right )^{2}}{16} \underset{(**)}{\geq }1-\frac{a^{2}}{4}-\frac{b^{2}}{4}- \frac{2ab}{4}=1-\frac{\left ( a+b \right )^{2}}{4}$ y por lo tanto la tesis se cumple siempre.
Las parejas $\left ( a,b \right )$ que cumplen la propiedad $P$ son aquellas para las cuales $0\leq a\leq 2$ y $0\leq b\leq 2$ o también aquellas para las cuales $-2\leq a\leq 0$ y $-2\leq b\leq 0$

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