Rioplatense 2009 N3 P4

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Joacoini

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Rioplatense 2009 N3 P4

Mensaje sin leer por Joacoini » Mar 17 Dic, 2019 6:51 pm

Hallar todas las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ tales que para todo par $(x, y)$ se verifica $$f(xy)=\max \left \{f(x+y), f(x)f(y)\right \}$$
NO HAY ANÁLISIS.

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Joacoini

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Re: Rioplatense 2009 N3 P4

Mensaje sin leer por Joacoini » Mié 18 Dic, 2019 12:21 am

Spoiler: mostrar
$(0,0)$

$f(0)=\max \{f(0), f(0)^2\}\Rightarrow f(0)\geq f(0)^2\Rightarrow 0\leq f(0)\leq 1$

$(x,0)$

$f(0)=\max \{f(x), f(x)f(0)\}\Rightarrow f(x)\leq 1$

Supongamos que existe $a$ tal que $f(a)f(0)> f(a)$, como $0\leq f(0)\leq 1$ tenemos que $f(a)<0$.

$f(0)=f(a)f(0)\Rightarrow f(0)(f(a)-1)=0$

Como $f(a)<1$ tenemos que $f(0)=0$ y como $f(0)=0=\max \{f(x), 0\}\Rightarrow f(x)\leq 0$

Supongamos que existe $b$ tal que $f(b)<0$ (sino $f(x)=0$ para todo $x$ la cual satisface la ecuación).

$\left (x,\frac{b}{x}\right )$ con $x$ distinto de $0$.

$f(b)=\max \{f\left (x+\frac{b}{x}\right ), f(x)f(b)\}$ pero como $f(x)\leq 0$ y $f(b)<0\Rightarrow f(x)f(b)\geq 0\Rightarrow f(b)\geq 0$ contradicción.


Si no existe tal $a$ entonces $f(x)=f(0)=c$ y notemos que la función anda para todo $0\leq c\leq 1$ ya que $f(xy)=c=\max \{f(x+y), f(x)f(y)\}=\max \{c, c^2\}$
NO HAY ANÁLISIS.

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