Entrenamiento Ibero 2019 P16

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Matías

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Entrenamiento Ibero 2019 P16

Mensaje sin leer por Matías » Dom 22 Dic, 2019 10:42 pm

Determinar si existen polinomios no constantes $P(x)$ y $Q(x)$ de coeficientes reales que satisfacen $P(x)^{10}+P(x)^9=Q(x)^{21}+Q(x)^{20}$.

Mijail
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Re: Entrenamiento Ibero 2019 P16

Mensaje sin leer por Mijail » Sab 04 Ene, 2020 1:39 pm

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No existen, primero suponga que si existen tales polinomios viendo sus grados tenemos que: $ 10deg(P)=21deg(Q) $ entonces existe un entero positivo $k$ tal que: $deg(P)=21k$ y $ deg(Q)=10k$, ahora si derivamos la ecuacion tenemos que: $$10.P(x)^9.P'(x) + 9.P(x)^8.P'(x) = 21.Q(x)^{20}.Q'(x) + 20.Q(x)^{19}.Q'(x)$$ con esto tenemos que: $$P(x)^8.P'(x).(10P(x)+ 9) = Q(x)^{19}.Q'(x).(21Q(x) + 20) $$ ahora de esto es claro que por la ecuacion original si $10.P(x)+9$ y $Q(x)$ tienen una raiz en comun entonces por la ecuacion anterior si esta raiz es $r$ entonces $P(r)^9(P(r)+1)=0$ entonces $P(r)$ es $O$ o $-1$ lo cual no es posible ya que $r$ tambien es raiz de $10.P(x)+9$ por lo que ambos polimios son coprimos (abusando de notacion) por lo que todas las raizes de $10.P(x)+9$ estan en el polinomio $Q'(x).(21Q(x) + 20)$ por lo que se cumple que: $$ deg(10.P(x)+9) \leq deg(Q'(x).(21Q(x) + 20)) $$ lo cual es equivalente a $ 21k \leq 20k-1 $, lo cual es una contradiccion. :mrgreen:

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