Com – Partida de Matemática del Uruguay

[bolonia]

Prueba que todos los números de la secuencia
1007, 10017, 100117, 1001117, 10011117, . .. tienen un factor común mayor que 1.
Nota: un factor común es lo mismo que un divisor común.
(no se puede usar calculadora)

[DiegoLedesma]

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Sea $a_{n}$ el valor del término $n$ de la secuencia. Observemos que a partir del 2º término, cada nuevo término $a_{n+1}$ se genera aumentando al anterior en $901\cdot 10^{n}$. Podemos entonces generalizar la fórmula de la secuencia, expresándola como: $a_{n+1}=1007+901\cdot \sum\limits _{i=1}^{n}10^{n}=53\left (19+17\cdot \sum\limits _{i=1}^{n}10^{n}\right)$. Con esto se prueba lo pedido, ya que cada término de la secuencia tiene factor común $53$.