IMO 2020 Problema 2

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Sandy

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IMO 2020 Problema 2

Mensaje sin leer por Sandy » Mar 22 Sep, 2020 5:18 pm

Los números reales $a,b,c,d$ son tales que $a\geqslant b\geqslant c\geqslant d>0$ y $a+b+c+d=1$. Demuestre que$$(a+2b+3c+4d)a^ab^bc^cd^d<1.$$
$u=tan\left(\frac{x}{2}\right)$
$\frac{2}{1+u^2}du=dx$

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Sandy

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Re: IMO 2020 Problema 2

Mensaje sin leer por Sandy » Mar 22 Sep, 2020 5:55 pm

Solución 1:
(La solución inteligente se la dejo a @Brunzo)
Spoiler: mostrar
Por AM-GM con pesas $a, b, c, d$, vemos que $a^ab^bc^cd^d\leq a^2+b^2+c^2+d^2$.

Además:
$$0<(ab^2-db^2)+(ba^2-da^2)+(bc^2-dc^2)+(ab^2-b^3)+2(ac-c^3)+3(abc-d^3)+2ac^2+2ad^2+bd^2+abc+6abd+6acd+6bcd=(a+b+c+d)^3-(a+2b+3c+4d)(a^2+b^2+c^2+d^2)=1-(a+2b+3c+4d)(a^2+b^2+c^2+d^2)$$
,ya que todos los primeros $6$ términos son no negativos y los demás positivos.
Luego $(a+2b+3c+4d)a^ab^bc^cd^d\leq (a+2b+3c+4d)(a^2+b^2+c^2+d^2)<1$ como queríamos.
Última edición por Sandy el Mié 23 Sep, 2020 8:14 pm, editado 3 veces en total.
$u=tan\left(\frac{x}{2}\right)$
$\frac{2}{1+u^2}du=dx$

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enigma1234

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Re: IMO 2020 Problema 2

Mensaje sin leer por enigma1234 » Mar 22 Sep, 2020 5:58 pm

Solución:
Spoiler: mostrar
Por $MA-MG$ con pesos tenemos que:
$$\sqrt[a+b+c+d]{a^ab^bc^cd^d}\leq\frac{a\times a+b\times b+c\times c+d\times d}{a+b+c+d}\to a^ab^bc^cd^d\leq a^2+b^2+c^2+d^2$$
Luego, si probamos que $(a+2b+3c+4d)(a^2+b^2+c^2+d^2)<1$ tendremos que la desigualdad pedida es cierta, veamos que:
$$(a+2b+3c+4d)(a^2+b^2+c^2+d^2)<1=(a+b+c+d)^3\dots (1)$$
$$\iff (b+2c+3d)(a^2+b^2+c^2+d^2)<(a+b+c+d)(2ab+2bc+2cd+2da+2ac+2bd)$$
$$\iff a^2b+2a^2c+3a^2d+b^3+2b^2c+3b^2d+c^2b+2c^3+3c^2d+d^2b+2d^2c+3d^3<2(a^2b+a^2c+a^2d+b^2a+b^2c+b^2d+c^2a+c^2b+c^2d+d^2a+d^2b+d^2c)+6(abc+abd+acd+bcd)$$
$$\iff a^2d+b^3+b^2d+2c^3+c^2d+3d^3<a^2b+d^2b+c^2b+2(b^2a+c^2a+d^2a)+6(abc+abd+acd+bcd)$$
Como $a\geq b\geq c\geq d>0$, tenemos que:
$$a^2d\leq a^2b;$$
$$ b^3,b^2d\leq b^2a;$$
$$c^3,c^2d,d^3\leq abc$$
De esto tenemos que:
$$ a^2d+b^3+b^2d+2c^3+c^2d+3d^3\leq a^2b+2(b^2a)+6(abc)<a^2b+d^2b+c^2b+2(b^2a+c^2a+d^2a)+6(abc+abd+acd+bcd)$$
Luego $(1)$ es cierto, por lo tanto
$$(a+2b+3c+4d)(a^ab^bc^cd^d)<1$$


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Turko Arias

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Re: IMO 2020 Problema 2

Mensaje sin leer por Turko Arias » Mar 22 Sep, 2020 6:18 pm

Raro problema para estar en una IMO
Spoiler: mostrar
Claramente lo que más nos molesta del problema es tener exponentes reales... Así que medio que lo primero que nos morimos de ganas de hacer es sacarnos eso de encima. Algo que me pareció prometedor fue tirarle logaritmo a la cosa, porque te queda $log(a+2b+3c+4d)+alog(a)+blog(b)+clog(c)+dlog(d) <0$ para probar... Pero se puso medio engorrosa la cosa. Intenté también acotar el $a^ab^bc^cd^d$ por cosas de la pinta $abcd^{abcd}$ y hacer am gm en $abcd$ pero de nuevo se iba poniendo oscuro... Tenemos que $a+b+c+d=1$. Hacer AM-GM con pesos parece prometedor para sacarnos los exponentes de encima... Sea $1=w=a+b+c+d$ la suma de los pesos, nos queda $\frac{a \times a + b \times b + c \times c + d \times d}{w} \geq (a^ab^bc^cd^d)^{\frac{1}{w}}$ es decir $a^2+b^2+c^2+d^2 \geq a^ab^bc^cd^d$. Tenemos entonces
$$(a+2b+3c+4d)a^ab^bc^cd^d \leq (a+2b+3c+4d)(a^2+b^2+c^2+d^2)$$
Y ahora bueno, como cada vez que nos aparece un producto o suma que da $1$... y después aparece el $1$ tiene todo el sentido del mundo reemplazarlo.
Deberíamos ver que
$$(a+2b+3c+4d)(a^2+b^2+c^2+d^2) <1=a+b+c+d$$
Pero como que la expresión de la izquierda, tiene grado $3$, por lo que tiene más sentido, aprovechándonos de que $a+b+c+d=(a+b+c+d)^n=1^n=1$ intentar ver que
$$(a+2b+3c+4d)(a^2+b^2+c^2+d^2) <1=(a+b+c+d)^3$$
El lado izquierdo expandido da:
$$a^3 + 2 a^2 b + 3 a^2 c + 4 a^2 d + a b^2 + a c^2 + a d^2 + 2 b^3 + 3 b^2 c + 4 b^2 d + 2 b c^2 + 2 b d^2 + 3 c^3 + 4 c^2 d + 3 c d^2 + 4 d^3$$
El lado derecho expandido da:
$$ a^3 + 3 a^2 b + 3 a^2 c + 3 a^2 d + 3 a b^2 + 6 a b c + 6 a b d + 3 a c^2 + 6 a c d + 3 a d^2 + b^3 + 3 b^2 c + 3 b^2 d + 3 b c^2 + 6 b c d + 3 b d^2 + c^3 + 3 c^2 d + 3 c d^2 + d^3$$
Me costó mucho hacer los desarrollos a mano thanks Wolfram
Ahora... Anotamos todo en dos renglones distintos de una hoja (preferentemente del ancho de un ploter) y empezamos a cancelar cosas como si no hubiera un mañana, por que la idea es ver que la resta del lado derecho con el lado izquierdo da mayor que $0$.
Queremos ver:
$$0<a^2b+2ab^2+6abc+6abd+2ac^2+6acd+2ad^2+bc^2+6bcd+bd^2-a^2d-b^3-b^2d-2c^3-c^2d-3d^3$$
O reacomodando todo (ahora que ya nos entra en un renglón):
$$0<6(abc+abd+acd+bcd)+a^2(b-d)+b^2(2a-b-d)+2c^2(a-c)+d^2(2a+b-3d)+c^2(b-d)$$
Que tiene todos sus términos no negativos por enunciado y porque tenemos cuadrados... Excepto el primer término, que como $a,b,c,d$ son positivos es positivo, así que ya estamos $\blacksquare$
Fundamentalista del Aire Acondicionado

BrunZo

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Re: IMO 2020 Problema 2

Mensaje sin leer por BrunZo » Mar 22 Sep, 2020 7:39 pm

Más allá de lo poco estético y poco amigable que sea el problema, creo que en el fondo tiene buenas ideas...
Spoiler: mostrar

Vamos a partir la solución en dos grandes pasos: El primero va a ser una simplificación del enunciado y el segundo va a ser la solución propiamente dicha.


Primero lo primero y dicho sin ambages: Los exponentes son muy molestos. Lo primero que tenemos que hacer si queremos hallar una solución para el problema es darle sentido a esos exponentes. Para eso, hay una idea muy interesante que podría enunciar al pasar sin detenerme, pero considero que es mejor hacer algo de hincapié en el hecho.

Una de las desigualdades más conocidas es AM-GM. Esta desigualdad dice que dados enteros positivos $a_1$, $a_2$,..., $a_n$ vale que
$$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geq \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$$
La verdad es que hay mil y una interpretaciones de este hecho, y tanto las ideas como la demostración van a ser obviadas en esta solución.

Ahora, una variante menos conocida de esta desigualdad es la llamada AM-GM con pesas, que dice así:
Dados enteros positivos $a_1$, $a_2$,..., $a_n$ y pesos no negativos $w_1$, $w_2$,..., $w_n$, vale que
$$\frac{w_1a_1+w_2a_2+\cdots+w_na_n}{w_1+w_2+\cdots+w_n}\geq \sqrt[w_1+w_2+\cdots+w_n]{a_1^{w_1}a_2^{w_2}\cdots a_n^{w_n}}$$

Otra vez, esta desigualdad tiene muchísimas interpretaciones geniales y demostraciones interesantes, que incluso tenía pensado incluir, pero la solución parece ya muy extensa... Por eso, dejo como ejercicio al lector (interesado) intentar hacer algo de sentido de la desigualdad.

Volviendo al problema, cuando uno tiene esta desigualdad en la cabeza, una idea interesante es aplicarla a los enteros positivos $a$, $b$, $c$ y $d$ con los mismos $a$, $b$, $c$ y $d$ como pesos, el resultado es
$$\frac{a\cdot a+b\cdot b+c\cdot c+d\cdot d}{a+b+c+d}\geq \sqrt[a+b+c+d]{a^ab^bc^cd^d}$$
Pero usando que $a+b+c+d=1$ se ve que $a^ab^bc^cd^d\leq a^2+b^2+c^2+d^2$, por lo que si lográsemos probar que
$$(a+2b+3c+4d)(a^2+b^2+c^2+d^2)<1$$
Entonces terminaríamos el problema (puesto que el lado derecho de por sí sería mayor o igual que $(a+2b+3c+4d)a^ab^bc^cd^d$), ¡y nos sacamos de encima las potencias!


Ahora sí, vamos a resolver el problema.

Una idea que uno podría tener al instante es expandir. Expandir todo y rezar por que la solución aparezca. En este caso, eso... funciona. En efecto, como muestran las soluciones de arriba, el problema "sale" expandiendo ¿no?

No.

Si bien uno puede hallar una solución que, expandiendo ese producto, resuelva la desigualdad (y nada de malo con dichas soluciones), el problema no sale expandiendo. Expandir y rezar que se vea la solución no resuelve el problema, por más que el hecho de que haya soluciones que hagan esto sea engañoso y pueda llevar a alguien a pensar esto. Si uno quiere resolver el problema de verdad, uno tiene que expandir inteligentemente.

Esta es una idea muy útil en álgebra (y sobre todo en desigualdades): Expandir inteligentemente. Es decir, en vez de multiplicar todos los términos y ver si podemos hacer algo con el choclo resultante, vamos a imaginarnos como se vería una expansión (esto puede resultar extraño, pero en verdad es muy útil). Por ejemplo, hagamos el ejercicio de intentar imaginar en este caso la "expansión" de $(a+2b+3c+4d)(a^2+b^2+c^2+d^2)$. Es decir, nosotros tenemos $16$ términos, cada uno resulta de la multiplicación de uno del primer paréntesis con uno del segundo paréntesis. Con un poquito de imaginación, vemos que estos términos vienen de dos tipos:
Tenemos los que son del tipo $a a^2=a^3$ y similares.
Y tenemos los que son del tipo $a b^2$ y similares.
Y están las constantes, claro.

Esto, si bien da alguna pista, es medio confuso, puesto que las constantes asimétricas pueden marearnos. Con un poquito de valor y agarrándonos de algún lado podremos soportar el mareo y resolver el problema... Pero no vamos a hacer eso. Vamos a hundirnos en el problema y vamos a entender lo que nos quiere decir de manera limpia.

Una idea importantísima que todavía no dije es que algo interesante (para toda desigualdad en general) es intentar entender la desigualdad. Con esto me refiero a cosas del estilo de: Ver para qué valores de $a$, $b$, $c$ y $d$ se está más cerca de conseguir la igualdad, para cuales más lejos, etcétera (esto muchas veces es mucho más valioso que pensar en los simbolitos). En este caso, si uno hace el ejercicio de recular y volver al producto original y prueba un poquito con numeritos se da cuenta que cuando $a=1$ y $b=c=d=0$ se obtiene una igualdad, así que, en términos del problema, nos gustaría que $a$ se aproxime a $1$ mientras que $b$, $c$ y $d$ se acerquen a $0$. (En particular, la desigualdad original también tiene esta caracteristica, nada más que es más complicado de ver, puesto que no es obvio que cuando $b$ se aproxima a $0$, entonces $b^b$ se aproxima a $1$, pero sabiendo esto se puede chequear y vale este caso de "igualdad").

Este "caso de igualdad", que a priori parece no tener relación, suele ser muy importante para acercarse a soluciones en desigualdades, puesto que suele contener la esencia de la desigualdad. En este caso, notemos que en el caso de igualdad nos está chivando que la desigualdad "quiere tener simetría en $b$, $c$ y $d$". Esto es, en un principio el $2b+3c+4d$ puede marearnos (o incluso asustar), porque es algo muy asimétrico y hace parecer que $b$, $c$ y $d$ son tratados distintamente, pero nuestro caso de igualdad parece insinuar lo contrario, que en realidad la desigualdad nos engaña y debemos tratar a $b$, $c$ y $d$ son iguales (en el caso de igualdad tienden todos a $0$), mientras que $a$ es "el distinto" (va a $1$). Pero, ¿cómo "simetrizamos" la desigualdad? Bueno, la forma más obvia es la siguiente: Si tomamos el factor asimétrico, $2b+3c+4d$, nosotros sabemos que $d\leq b$, luego podemos "pasar" una $d$ a las $b$, y obtener $2b+3c+4d\leq 3b+3c+3d$, por lo que basta probar que
$$(a+3b+3c+3d)(a^2+b^2+c^2+d^2)<1$$
para terminar el problema. ¡Y esto es simétrico en $b$, $c$ y $d$!

Esto es a lo que se refería Sandy con "solución inteligente".

(Aparte. Otra intuición muy útil con el caso de igualdad (que no puedo dejar de mencionar) es la siguiente: El razonamiento de recién es de un tipo muy general, son los razonamientos de la pinta: Queremos probar que $X\leq Y$, y para hacerlo encontramos un $Z$ que cumple $X\leq Z$ y que por alguna razón nos parece más amistoso, para luego probar $Z\leq Y$. Notemos que siempre que intentemos probar (o buscar) alguna expresión de esta pinta hay que tener un cuidado: Conociendo el caso de igualdad entre $X$ e $Y$, podemos estar seguros que, de ser cierto que $X\leq Z\leq Y$, tiene que ser cierto que en dicho caso de igualdad, vale $X=Z=Y$. En nuestro caso particular, como nosotros conjeturamos que para la igualdad necesitamos $b=d=0$, la igualdad propuesta es en efecto cierta (puesto que cambiar un $d$ por $b$ sería cambiar $0$ por $0$, nada básicamente). Como aclaración final, claro es que el reverso no tiene por qué ser cierto, es decir, puede ser que si bien la igualdad vale, la desigualdad que ahora tenemos que probar no sea cierta, pero al menos sabemos que no estamos completamente desencaminados... De hecho...)

Sabiendo esto es que estamos listos para entender la verdad del problema. Recordemos como antes expandimos inteligentemente, y repitamos en la nueva desigualdad. Nosotros sabíamos
Tenemos los que son del tipo $a a^2=a^3$ y similares.
Y tenemos los que son del tipo $a b^2$ y similares.
Y están las constantes, claro.
Nada más que ahora las constantes no nos asustan: ¡Las entendemos! $a^3$ tiene constante $1$ y $b^3$, $c^3$, $d^3$ tienen constante $3$, y similarmente cuando los términos del tipo $a^2b$ tienen como parte con exponente uno a $b$, $c$ o $d$ es que tienen constante $3$; mientras que si tienen a $a$, tienen constante $1$. Esta expresión, ahora simétrica, yo digo que nos va a servir mucho más para entender el problema. Pues veamos lo siguiente: Esta expansión, con cosas tipo $a^3$ y $3a^2b$ está gritando para ser asemejada con otra cosa: cubos. Por ejemplo, es fácil ver que $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ (¿no suena una campanita algebraica?). Similarmente, nuestro instinto dice que $(a+b+c+d)^3$ tiene que ser algo parecido ¿no?

(Aparte. Otra forma de llegar al cubo es hacer lo que hizo Turko y buscar algún término con el mismo grado que el otro lado.)

Bueno, ahora es que nos ponemos serios, y yo digo que no sólo se parecen, si no que $(a+3b+3c+3d)(a^2+b^2+c^2+d^2)< (a+b+c+d)^3$ para cualquesquiera $a$, $b$, $c$ y $d$ reales positivos. Pensémoslo de la siguiente forma:
Del tipo $a^3$ de un lado tenemos $a^3+3b^3+3c^3+3d^3$ y del otro tenemos $a^3+b^3+c^3+d^3$. Si pasamos restando estos últimos tenemos que del lado izquierdo queda $2b^3+2c^3+2d^3$. Bien.
Del tipo $a^2b$ de un lado tenemos $a^2b$ con todas las elecciones de 2 letras disitntas en $a,b,c,d$, teniendo en cuenta que si la segunda letrita es $a$, entonces la constante es $1$, y si no es $3$; mientras que del otro lado estan simplemente todos los términos tipo $3a^2b$. Si pasamos restando los primeros a los segundos, quedan todos los términos con una $a$ con exponente 1 multiplicados con constante 2, es decir $2a(b^2+c^2+d^2)$.
Y, por supuesto, tenemos del lado derecho todos los términos tipo $6abc$, que no vamos a emparejar.
Es decir, lo que tenemos que probar ahora es
$$2b^3+2c^3+2d^3<2a(b^2+c^2+d^2)+6(abc+abd+acd+bcd)$$
Pero, fijémonos que como $d\leq c\leq b\leq a$, vale que $b\cdot b^2+c\cdot c^2+d\cdot d^2\leq a\cdot b^2+a\cdot c^2+a\cdot d^2=a(b^2+c^2+d^2)$ (para los curiosos, en esta desigualdad el caso de igualdad se preserva, ya que el paréntesis $b^2+c^2+d^2$ es nulo). Pero entonces... Ya estamos, puesto que sabemos que la parte $6(abc+abd+acd+bcd)$ tiene que sí o sí ser positiva, luego
$$2b^3+2c^3+2d^3\leq 2a(b^2+c^2+d^2)<2a(b^2+c^2+d^2)+6(abc+abd+acd+bcd)$$
Pero si esta desigualdad es cierta, entonces deshacemos todos los pasajes y desexpandimos para obtener nuestra conjetura original, que
$$(a+3b+3c+3d)(a^2+b^2+c^2+d^2)<(a+b+c+d)^3$$
para todos los reales $a$, $b$, $c$ y $d$. Pero en este caso particular sabemos que $a+b+c+d=1$, luego
$$(a+3b+3c+3d)(a^2+b^2+c^2+d^2)<1$$
Lo que prueba el problema.


Por alguna razón, mis soluciones más que soluciones parecen un manual de como encontrar soluciones parecidas.
Última edición por BrunZo el Jue 24 Sep, 2020 5:32 pm, editado 2 veces en total.
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Re: IMO 2020 Problema 2

Mensaje sin leer por Sandy » Mar 22 Sep, 2020 8:25 pm

BrunZo escribió:
Mar 22 Sep, 2020 7:39 pm
Más allá de lo poco estético y poco amigable que sea el problema, creo que en el fondo tiene buenas ideas...
Spoiler: mostrar

Vamos a partir la solución en dos grandes pasos: El primero va a ser una simplificación del enunciado y el segundo va a ser la solución propiamente dicha.


Primero lo primero y dicho sin ambages: Los exponentes son muy molestos. Lo primero que tenemos que hacer si queremos hallar una solución para el problema es darle sentido a esos exponentes. Para eso, hay una idea muy interesante que podría enunciar al pasar sin detenerme, pero considero que es mejor hacer algo de hincapié en el hecho.

Una de las desigualdades más conocidas es AM-GM. Esta desigualdad dice que dados enteros positivos $a_1$, $a_2$,..., $a_n$ vale que
$$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geq \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$$
La verdad es que hay mil y una interpretaciones de este hecho, y tanto las ideas como la demostración van a ser obviadas en esta solución.

Ahora, una variante menos conocida de esta desigualdad es la llamada AM-GM con pesas, que dice así:
Dados enteros positivos $a_1$, $a_2$,..., $a_n$ y pesos no negativos $w_1$, $w_2$,..., $w_n$, vale que
$$\frac{w_1a_1+w_2a_2+\cdots+w_na_n}{w_1+w_2+\cdots+w_n}\geq \sqrt[w_1+w_2+\cdots+w_n]{a_1^{w_1}a_2^{w_2}\cdots a_n^{w_n}}$$

Otra vez, esta desigualdad tiene muchísimas interpretaciones geniales y demostraciones interesantes, que incluso tenía pensado incluir, pero la solución parece ya muy extensa... Por eso, dejo como ejercicio al lector (interesado) intentar hacer algo de sentido de la desigualdad.

Volviendo al problema, cuando uno tiene esta desigualdad en la cabeza, una idea interesante es aplicarla a los enteros positivos $a$, $b$, $c$ y $d$ con los mismos $a$, $b$, $c$ y $d$ como pesos, el resultado es
$$\frac{a\cdot a+b\cdot b+c\cdot c+d\cdot d}{a+b+c+d}\geq \sqrt[a+b+c+d]{a^a+b^b+c^c+d^d}$$
Pero usando que $a+b+c+d=1$ se ve que $a^ab^bc^cd^d\leq a^2+b^2+c^2+d^2$, por lo que si lográsemos probar que
$$(a+2b+3c+4d)(a^2+b^2+c^2+d^2)<1$$
Entonces terminaríamos el problema (puesto que el lado derecho de por sí sería mayor o igual que $(a+2b+3c+4d)a^ab^bc^cd^d$), ¡y nos sacamos de encima las potencias!


Ahora sí, vamos a resolver el problema.

Una idea que uno podría tener al instante es expandir. Expandir todo y rezar por que la solución aparezca. En este caso, eso... funciona. En efecto, como muestran las soluciones de arriba, el problema "sale" expandiendo ¿no?

No.

Si bien uno puede hallar una solución que, expandiendo ese producto, resuelva la desigualdad (y nada de malo con dichas soluciones), el problema no sale expandiendo. Expandir y rezar que se vea la solución no resuelve el problema, por más que el hecho de que halla soluciones que hagan esto sea engañoso y pueda llevar a alguien a pensar esto. Si uno quiere resolver el problema de verdad, uno tiene que expandir inteligentemente.

Esta es una idea muy útil en álgebra (y sobre todo en desigualdades): Expandir inteligentemente. Es decir, en vez de multiplicar todos los términos y ver si podemos hacer algo con el choclo resultante, vamos a imaginarnos como se vería una expansión (esto puede resultar extraño, pero en verdad es muy útil). Por ejemplo, hagamos el ejercicio de intentar imaginar en este caso la "expansión" de $(a+2b+3c+4d)(a^2+b^2+c^2+d^2)$. Es decir, nosotros tenemos $16$ términos, cada uno resulta de la multiplicación de uno del primer paréntesis con uno del segundo paréntesis. Con un poquito de imaginación, vemos que estos términos vienen de dos tipos:
Tenemos los que son del tipo $a a^2=a^3$ y similares.
Y tenemos los que son del tipo $a b^2$ y similares.
Y están las constantes, claro.

Esto, si bien da alguna pista, es medio confuso, puesto que las constantes asimétricas pueden marearnos. Con un poquito de valor y agarrándonos de algún lado podremos soportar el mareo y resolver el problema... Pero no vamos a hacer eso. Vamos a hundirnos en el problema y vamos a entender lo que nos quiere decir de manera limpia.

Una idea importantísima que todavía no dije es que algo interesante (para toda desigualdad en general) es intentar entender la desigualdad. Con esto me refiero a cosas del estilo de: Ver para qué valores de $a$, $b$, $c$ y $d$ se está más cerca de conseguir la igualdad, para cuales más lejos, etcétera (esto muchas veces es mucho más valioso que pensar en los simbolitos). En este caso, si uno hace el ejercicio de recular y volver al producto original y prueba un poquito con numeritos se da cuenta que cuando $a=1$ y $b=c=d=0$ se obtiene una igualdad, así que, en términos del problema, nos gustaría que $a$ se aproxime a $1$ mientras que $b$, $c$ y $d$ se acerquen a $0$. (En particular, la desigualdad original también tiene esta caracteristica, nada más que es más complicado de ver, puesto que no es obvio que cuando $b$ se aproxima a $0$, entonces $b^b$ se aproxima a $1$, pero sabiendo esto se puede chequear y vale este caso de "igualdad").

Este "caso de igualdad", que a priori parece no tener relación, suele ser muy importante para acercarse a soluciones en desigualdades, puesto que suele contener la esencia de la desigualdad. En este caso, notemos que en el caso de igualdad nos está chivando que la desigualdad "quiere tener simetría en $b$, $c$ y $d$". Esto es, en un principio el $2b+3c+4d$ puede marearnos (o incluso asustar), porque es algo muy asimétrico y hace parecer que $b$, $c$ y $d$ son tratados distintamente, pero nuestro caso de igualdad parece insinuar lo contrario, que en realidad la desigualdad nos engaña y debemos tratar a $b$, $c$ y $d$ son iguales (en el caso de igualdad tienden todos a $0$), mientras que $a$ es "el distinto" (va a $1$). Pero, ¿cómo "simetrizamos" la desigualdad? Bueno, la forma más obvia es la siguiente: Si tomamos el factor asimétrico, $2b+3c+4d$, nosotros sabemos que $d\leq b$, luego podemos "pasar" una $d$ a las $b$, y obtener $2b+3c+4d\leq 3b+3c+3d$, por lo que basta probar que
$$(a+3b+3c+3d)(a^2+b^2+c^2+d^2)<1$$
para terminar el problema. ¡Y esto es simétrico en $b$, $c$ y $d$!

Esto es a lo que se refería Sandy con "solución inteligente".

Aparte. Otra intuición muy útil con el caso de igualdad (que no puedo dejar de mencionar) es la siguiente: El razonamiento de recién es de un tipo muy general, son los razonamientos de la pinta: Queremos probar que $X\leq Y$, y para hacerlo encontramos un $Z$ que cumple $X\leq Z$ y que por alguna razón nos parece más amistoso, para luego probar $Z\leq Y$. Notemos que siempre que intentemos probar (o buscar) alguna expresión de esta pinta hay que tener un cuidado: Conociendo el caso de igualdad entre $X$ e $Y$, podemos estar seguros que, de ser cierto que $X\leq Z\leq Y$, tiene que ser cierto que en dicho caso de igualdad, vale $X=Z=Y$. En nuestro caso particular, como nosotros conjeturamos que para la igualdad necesitamos $b=d=0$, la igualdad propuesta es en efecto cierta. Como aclaración final, claro es que el reverso no tiene por qué ser cierto, es decir, puede ser que si bien la igualdad vale, la desigualdad que ahora tenemos que probar no sea cierta, pero al menos sabemos que no estamos completamente desencaminados... De hecho, esto nos indica que cuando nosotros sacamos una $d$ y la pasamos a la $b$, como supuestamente en igualdad estos son ambos $0$, no hicimos lío...

Sabiendo esto es que estamos listos para entender la verdad del problema. Recordemos como antes expandimos inteligentemente, y repitamos en la nueva desigualdad. Nosotros sabíamos
Tenemos los que son del tipo $a a^2=a^3$ y similares.
Y tenemos los que son del tipo $a b^2$ y similares.
Y están las constantes, claro.
Nada más que ahora las constantes no nos asustan: ¡Las entendemos! $a^3$ tiene constante $1$ y $b^3$, $c^3$, $d^3$ tienen constante $3$, y similarmente cuando los términos del tipo $a^2b$ tienen como parte con exponente uno a $b$, $c$ o $d$ es que tienen constante $3$; mientras que si tienen a $a$, tienen constante $1$. Esta expresión, ahora simétrica, yo digo que nos va a servir mucho más para entender el problema. Pues veamos lo siguiente: Esta expansión, con cosas tipo $a^3$ y $3a^2b$ está gritando para ser asemejada con otra cosa: cubos. Por ejemplo, es fácil ver que $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ (¿no suena una campanita algebraica?). Similarmente, nuestro instinto dice que $(a+b+c+d)^3$ tiene que ser algo parecido ¿no?

Aparte. Otra forma de llegar a la misma solución es hacer lo que hizo Turko y buscar algún término con el mismo grado que el otro lado.

Bueno, ahora es que nos ponemos serios, y yo digo que no sólo se parecen, si no que $(a+3b+3c+3d)(a^2+b^2+c^2+d^2)< (a+b+c+d)^3$ para cualquesquiera $a$, $b$, $c$ y $d$ reales positivos. Pensémoslo de la siguiente forma:
Del tipo $a^3$ de un lado tenemos $a^3+3b^3+3c^3+3d^3$ y del otro tenemos $a^3+b^3+c^3+d^3$. Si pasamos restando estos últimos tenemos que del lado izquierdo queda $2b^3+2c^3+2d^4$. Bien.
Del tipo $a^2b$ de un lado tenemos $a^2b$ con todas las elecciones de 2 letras disitntas en $a,b,c,d$, teniendo en cuenta que si la segunda letrita es $a$, entonces la constante es $1$, y si no es $3$; mientras que del otro lado estan simplemente todos los términos tipo $3a^2b$. Si pasamos restando los primeros a los segundos, quedan todos los términos con una $a$ con exponente 1 multiplicados con constante 2, es decir $2a(b^2+c^2+d^2)$.
Y, por supuesto, tenemos del lado derecho todos los términos tipo $6abc$, que no vamos a emparejar.
Es decir, lo que tenemos que probar ahora es
$$2b^3+2c^3+2d^3<2a(b^2+c^2+d^2)+6(abc+abd+acd+bcd)$$
Pero, fijémonos que como $d\leq c\leq b\leq a$, vale que $b\cdot b^2+c\cdot c^2+d\cdot d^2\leq a\cdot b^2+a\cdot c^2+a\cdot d^2=a(b^2+c^2+d^2)$ (para los curiosos, en esta desigualdad el caso de igualdad se preserva, ya que el paréntesis $b^2+c^2+d^2$ es nulo). Pero entonces... Ya estamos, puesto que sabemos que la parte $6(abc+abd+acd+bcd)$ tiene que sí o sí ser positiva, luego
$$2b^3+2c^3+2d^3\leq 2a(b^2+c^2+d^2)<2a(b^2+c^2+d^2)+6(abc+abd+acd+bcd)$$
Pero si esta desigualdad es cierta, entonces deshacemos todos los pasajes y desexpandimos para obtener nuestra conjetura original, que
$$(a+3b+3c+3d)(a^2+b^2+c^2+d^2)<(a+b+c+d)^3$$
para todos los reales $a$, $b$, $c$ y $d$. Pero en este caso particular sabemos que $a+b+c+d=1$, luego
$$(a+3b+3c+3d)(a^2+b^2+c^2+d^2)<1$$
Lo que prueba el problema.


Por alguna razón, mis soluciones más que soluciones parecen un manual de como encontrar soluciones parecidas.
Tus posts de Omaforos se deberían recopilar para hacer los apuntes de selectivos
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$u=tan\left(\frac{x}{2}\right)$
$\frac{2}{1+u^2}du=dx$

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Monazo

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Re: IMO 2020 Problema 2

Mensaje sin leer por Monazo » Mar 22 Sep, 2020 9:52 pm

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Re: IMO 2020 Problema 2

Mensaje sin leer por Matías » Jue 24 Sep, 2020 2:56 pm

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Por AM-GM con pesas
$$a^ab^bc^cd^d\leq a^2+b^2+c^2+d^2$$
$\forall(a, b, c, d>0\wedge a+b+c+d=1)$

Ahora sea $f(a,b,c,d)=(a+b+c+d)^3-(a+2b+3c+4d)(a^2+b^2+c^2+d^2)$ $\forall a\geq b\geq c\geq d>0$
Vamos a demostrar que $f(a,b,c,d)\geq f(b,b,c,d)\geq f(c,c,c,d)>0$

Si expandimos y expresamos como polinomio en $a$, nos queda $f(a,b,c,d)=a^2(b-d)+a(3(b+c+d)^2-(b^2+c^2+d^2))+((b+c+d)^3-(b^2+c^2+d^2)(2b+3c+4d))$
Si derivamos en $a$ nos queda $f'(a)=2(b-d)a+3(b+c+d)^2-(b^2+c^2+d^2)=2(b-d)a+2(b^2+c^2+d^2+3bc+3cd+3db)>0$ así que $f(a)$ es estrictamente creciente en $[b,+\infty)$, es decir que su mínimo se alcanza con $a=b$, entonces $f(a,b,c,d)\geq f(b,b,c,d)$

Si tomamos $a=b$, expandimos y expresamos como polinomio en $b$, nos queda $f(b,b,c,d)=2b^3+6(c+d)b^2+3(c^2+4cd+d^2)b+((c+d)^3-(c^2+d^2)(3c+4d))$
Si derivamos en $b$ nos queda $f'(b)=6b^2+12b(c+d)+3(c^2+4cd+d^2)>0$ así que $f(b)$ es estrictamente creciente en $[c,+\infty)$, es decir que su mínimo se alcanza con $b=c$, entonces $f(b,b,c,d)\geq f(c,c,c,d)$

Si tomamos $a=b=c$, expandimos y expresamos como polinomio en $c$, nos queda $f(c,c,c,d)=9c^3+17dc^2+3d^2c-3d^3=3(c^3-d^3)+6c^3+17dc^2+3d^2c>0$

Por lo tanto $\forall(a\geq b\geq c\geq d>0\wedge a+b+c+d=1)$
$(a+2b+3c+4d)a^ab^bc^cd^d\leq(a+2b+3c+4d)(a^2+b^2+c^2+d^2)<(a+b+c+d)^3=1$

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Sandy

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Re: IMO 2020 Problema 2

Mensaje sin leer por Sandy » Dom 27 Sep, 2020 3:42 am

Monazo escribió:
Mar 22 Sep, 2020 9:52 pm
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Challenge accepted.
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Que conste que no me enorgullece esto.
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  • $a<\frac{1}{2}$
$(3-2a)a-1=-2a^2+3a-1=2(a-1)(\frac{1}{2}-a)<0 \Longrightarrow (3-2a)a<1 \Longrightarrow (a+2b+3c+4d)a^ ab^bc^cd^d\leq (a+3b+3c+3d)a^aa^ba^ca^d=(3-2a)a<1$


  • $a\geq\frac{1}{2}$
$1-a>b\geq c\geq d\Longrightarrow (a+2b+3c+4d)a^ab^bc^cd^d\leq (a+3b+3c+3d)a^a(1-a)^b(1-a)^c(1-a)^d=(3-2a)a^a(1-a)^{1-a}$
Sea $f(a)=\ln \left ((3-2a)a^a(1-a)^{1-a}\right )=\ln (3-2a)+a\times \ln (a)+(1-a)\ln (1-a)$
$8(a-1)^2+1>0$ y $a(1-a)>0\Longrightarrow \frac{8(a-1)^2+1}{a(1-a)}>0\Longrightarrow \frac{(3-2a)^2-4a(1-a)}{a(1-a)}>0\Longrightarrow \frac{(3-2a)^2}{a(1-a)}>4\Longrightarrow \frac{1}{a(1-a)}>\frac{4}{(3-2a)^2}\Longrightarrow f''(a)=\frac{1}{a}+\frac{1}{1-a}-\frac{4}{(3-2a)^2}>0$ (1)
$f\left (\frac{1}{2}\right )=\ln \left ((2)\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}\right )=\ln(1)=0$ (2)
$\lim \limits _{a\to 1^-} f(a)=\lim \limits _{a\to 1^-}\ln (3-2a)+a\times \ln (a)+\ln \left ((1-a)^{1-a}\right )=\ln (1)+1\times \ln (1)+\ln (1)=3\ln (1)=0$ (3)
Por (1)(2)(3), $f(a)\leq 0\Longrightarrow e^{f(a)}\leq e^0=1\Longrightarrow (a+2b+3c+4d)a^ab^bc^cd^d<(a+3b+3c+3d)a^a(1-a)^b(1-a)^c(1-a)^d=(3-2a)a^a(1-a)^{1-a}=e^{f(a)}\leq 1$
$u=tan\left(\frac{x}{2}\right)$
$\frac{2}{1+u^2}du=dx$

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