Sel Cono - 1999 - P5

[Felibauk]

Dado un número natural $n>1$, definimos las siguientes dos operaciones.

Operación $1$:
Se calcula la parte entera de cada una de las $n$ fracciones $\frac{n}{1},\frac{n}{2},\ldots ,\frac{n}{n}$, y luego se suman:$$\left [\frac{n}{1}\right ]+\left [\frac{n}{2}\right ]+\cdots +\left [\frac{n}{n}\right ].$$Operación $2$:
Se calcula la parte entera de cada una de las $n-1$ fracciones $\frac{n-1}{1},\frac{n-1}{2},\ldots ,\frac{n-1}{n-1}$, luego se suman y se añade $2$ al resultado:$$2+\left [\frac{n-1}{1}\right ]+\left [\frac{n-1}{2}\right ]+\cdots +\left [\frac{n-1}{n-1}\right ].$$Determinar todos los valores de $n$ para los que el resultado de la operación $1$ es igual al resultado de la operación $2$.

Aclaración: Los corchetes indican la parte entera del número que encierran, por ejemplo, $\left [\frac{18}{1}\right ]=18$; $\left [\frac{18}{2}\right ]=9$; $\left [\frac{18}{4}\right ]=4$; $\left [\frac{18}{13}\right ]=1$; etc.

[Tomás Morcos Porras]

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Llamo $O(n)$ a la operación $1$ realizada en $n$.
Es claro que la operación $2$ de $n$ es simplemente $O(n-1)$ sumada a $2$. Luego, vamos a ver qué pasa con la operación $1$ y cuándo $n$ devuelve exactamente $2$ más que $n-1$.
Primero veamos que todo $O(n)$ tiene por lo menos $2$ de diferencia con respecto a $O(n-1)$: $\left[\frac{n}{1}\right]=\left[\frac{n-1}{1}\right]+1$ y se añade el término $\left[\frac{n}{n}\right]$ que necesariamente vale $1$.
Veamos primero que todos los primos cumplen: Sea $p$ un primo. Si $\left[\frac{p-1}{i}\right]=k$ donde $i$ es un número entre $2$ y $p-1$, entonces $\left[\frac{p}{i}\right]=k$, ya que $p$ por ser primo no es múltiplo de ningún valor de $i$, y por ende la fracción no puede tener parte entera mayor. Esto implica que todas las divisiones excepto la primera y la última valen lo mismo para $O(p)$ que para $O(p-1)$, y como ya vimos que la primera y la última tienen $1$ de diferencia cada una, la diferencia total es de $2$.
Digamos por último que algún $c$ no primo cumple. Esto implica necesariamente que, para todos los valores de $j$ entre $2$ y $c-1$, $\left[\frac{c}{j}\right]=\left[\frac{c-1}{j}\right]$, lo que a su vez implica que ningún $j$ divide a $c$, es decir, que ningún número entre $1$ y $c$ divide a $c$, excepto por $1$ y $c$; pero esta es la definición de primo, absurdo.
Queda que cumplen únicamente todos los $n$ primos.