Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ tales que la ecuación$$f(xf(x)+y)=f(y)+x^2$$se cumple para todos los números racionales $x$ e $y$.
Digamos que: $$P(x,y): f\left(xf(x)+y\right)=f(y)+x^2 \text{ $\forall$ $x,y\in \mathbb{Q}$}$$ Lema: Existe un racional $c$ tal que $f(c)=0$ y $f(0)=0.$
Y para $n=ab$ y $x=\frac{1}{b},$ obtenemos
$$ f(c)=0, \text{ para $c=-af\left(\frac{1}{b}\right)$}$$
contradiciendo lo supuesto.
Sea $c$ tal que $f(c)=0$, luego en $P(c,y)$ tenemos:
$$f(y)=f(y)+c^2\to c=0$$
como queriamos.
Ahora en $(i)$ y $(ii)$ tenemos:
$$ f\left(nxf(x)\right)=nx^2, \text{ $\forall$ $n$ entero y $x$ racional}\dots (iii)$$
Como el dominio y rango de $f$ son los racionales, luego $xf(x)$ es racional para todo $x$ racional.
Sean $x_1,x_2\neq 0$ dos numeros racionales, luego existen enteros $a,b,c,d$, con $b,d\neq 0$, tales que:
$$x_1f(x_1)=\frac{a}{b} \text{ y } x_2f(x_2)=\frac{c}{d}.$$
Tomando en $(iii)$ $(n,x)=(bc,x_1)$ y $(n,x)=(ad,x_2)$ obtenemos:
$$f(ac)=bcx_1^2=adx_2^2\to x_1^2\times \frac{c}{d}=x_2^2\times \frac{a}{b}\to x_1^2x_2f(x_2)=x_2^2x_1f(x_1) $$
Como $x_1,x_2\neq 0$, dividiendo entre $x_1^2x_2^2$ tenemos:
$$ \frac{f(x_1)}{x_1}=\frac{f(x_2)}{x_2},$$
para todos $x_1,x_2$ racionales distintos de $0$. Luego $f(x)=kx$ para todo $x\neq 0$ racional.
Dado a que $f(0)=0$ podemos extender esto para todo $x$ racional. Luego reemplazando en $P(1,0)$ tenemos:
$$k^2=1\to k=1 \text{ o }k=-1$$
Por lo tanto las posibles soluciones son:
$$f(x)=x \text{ $\forall$ $x\in \mathbb{Q}$}$$
$$f(x)=-x \text{ $\forall$ $x\in \mathbb{Q}$}$$
y claramente ambas soluciones cumplen.
