IMO 2021 - Problema 2

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Sandy

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IMO 2021 - Problema 2

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Probar que la desigualdad$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\sqrt{|x_i-x_j|}\leq \sum _{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i+x_j|}$$se satisface para cualquier elección de números reales $x_1,\ldots, x_n$.
Fallo inapelable.

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Sandy

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Re: IMO 2021 - Problema 2

Mensaje sin leer por Sandy »

Idea resumida
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Apenas uno ve el problema se imagina una inducción en $n$, pero no anda como cualquier inducción sino que requiere unos retoques extras. En este caso esos retoques fueron ver que uno puede reducirlo al caso en el que ha un $x_i=0$ o dos $x_i,x_j$ simétricos respecto al $0$, y que ahí sí, eliminar uno o los dos (respectivamente) permite finalizar el paso inductivo. Para reducirlo a alguno de los casos que queríamos, hacía falta notar algo clave que era que cambiar todos los $x_i$ por $x_i+k$ para algún $k$ nos mantenía constante el lado izquierdo mientras que modificaba el derecho. De ahí a ver que el derecho se minimizaba cuando se daba uno de los dos casos que vimos arriba no había mucho camino porque la forma de la inecuación ya nos sugiere que la igualdad se da con los $x_i$ simétricos respecto al $0$.
Solución
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Notemos primero que si cambiamos cada $x_i$ por $x_i+k$, el lado izquierdo se mantiene mientras el derecho depende de $k$.
Con esta observación en mente, procederemos por inducción en $n$.
Supongamos que la desigualdad vale para $n-1$ y $n-2$.
Además, supongamos que no existen $i,j$ (no necesariamente distintos) con $x_i=-x_j$. Veremos que existe un $k$ tal que $\sum _{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i+x_j+2k|} < \sum _{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i+x_j|}$.

Lema: Para todos $k,y$ con $0<\mid k\mid \leq\mid y\mid$ vale que $\sqrt{\mid y+k\mid}+\sqrt{\mid y-k\mid}< 2\sqrt{\mid y\mid}$.
Demostración: Se podría usar con Jensen en $f(x)=\sqrt{\mid x\mid}$ que es cóncava en $(-\inf, 0)$ y $(0, +\inf)$ -cada intervalo por separado- pero prometí no derivar así que vamos a hacer algo elemental. Dividiendo por $\sqrt{\mid y\mid}$ ambos lados, seteando $t=\frac{k}{y}$ y elevando ambos lados al cuadrado (ya que son positivos) nos queda equivalente a $\mid 1+t\mid +\mid 1-t\mid +2\sqrt{\mid 1-t^2\mid}< 4$. Por la condición entre $\mid y\mid,\mid k\mid$ tenemos que $1+t$, $1-t$, $1-t^2$ son no negativos, luego queda equivalente a $2+2\sqrt{1-t^2}< 4$ que es trivialmente cierto.

Ahora, por el lema tenemos que, para $k$ con módulo suficientemente chico (pero no $0$), $\sum _{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i+x_j+2k|}+\sum _{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i+x_j-2k|} < 2\sum _{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i+x_j|}$. Luego al menos uno entre $2k$ y $-2k$ cumplen que $\sum _{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i+x_j\pm 2k|} < \sum _{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i+x_j|}$, luego cambiando cada $x_i$ por $x_i\pm k$ obtenemos lo buscado. En particular, si seteamos $k=-\frac{x_i+x_j}{2}$ para $i,j$ tal que $\mid x_i+x_j\mid$ sea mínimo, nos queda reducido a un caso en el cual existen $i,j$ con $x_i=-x_j$.

Es decir, por ahora tenemos que, si no hay $i,j$ con $x_i=-x_j$, hay algún $k$ tal que, si seteamos $x_i'=x_i+k$, habrá $i,j$ con $x_i=-x_j$ y además valdrá que $\sum _{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i'+x_j'|} < \sum _{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i+x_j|}$ y $\sum _{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i'-x_j'|} = \sum _{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i-x_j|}$.

Si $i\neq j$, sean sin pérdida de generalidad $x_{n-1}'=-x_n'$.
Notemos que $\sum _{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i'-x_j'|}=\sum _{i=1}^{n-2}\sum_{j=1}^{n-2}\sqrt{\mid x_i'-x_j'\mid}+2\sum_{j=1}^{n-2}\sqrt{\mid x_{n-1}'-x_j'\mid}+2\sum_{j=1}^{n-2}\sqrt{\mid x_{n}'-x_j'\mid}+2\sqrt{\mid x_{n-1}'-x_n'\mid}=\sum _{i=1}^{n-2}\sum_{j=1}^{n-2}\sqrt{\mid x_i'-x_j'\mid}+2\sum_{j=1}^{n-2}\sqrt{\mid x_n'+x_j'\mid}+2\sum_{j=1}^{n-2}\sqrt{\mid x_{n}'-x_j'\mid}+2\sqrt{\mid 2x_n'\mid}.$
Además, notemos que $\sum _{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i'+x_j'|}=\sum _{i=1}^{n-2}\sum_{j=1}^{n-2}\sqrt{\mid x_i'+x_j'\mid}+2\sum_{j=1}^{n-2}\sqrt{\mid x_{n-1}'+x_j'\mid}+2\sum_{j=1}^{n-2}\sqrt{\mid x_{n}'+x_j'\mid}+2\sqrt{\mid x_{n-1}'+x_n'\mid}+\sqrt{\mid 2x_{n-1}'\mid}+\sqrt{\mid 2x_n'\mid}=\sum _{i=1}^{n-2}\sum_{j=1}^{n-2}\sqrt{\mid x_i'+x_j'\mid}+2\sum_{j=1}^{n-2}\sqrt{\mid x_{n}'-x_j'\mid}+2\sum_{j=1}^{n-2}\sqrt{\mid x_{n}'+x_j'\mid}+\sqrt{\mid 2x_{n-1}'\mid}+\sqrt{\mid 2x_n'\mid}.$

Por lo tanto, ya que para $n-2$ la desigualdad era cierta, tenemos $\sum _{i=1}^{n-2}\sum_{j=1}^{n-2}\sqrt{\mid x_i'-x_j'\mid}+2\sum_{j=1}^{n-2}\sqrt{\mid x_n'+x_j'\mid}+2\sum_{j=1}^{n-2}\sqrt{\mid x_{n}'-x_j'\mid}+2\sqrt{\mid 2x_n'\mid}\leq \sum _{i=1}^{n-2}\sum_{j=1}^{n-2}\sqrt{\mid x_i'+x_j'\mid}+2\sum_{j=1}^{n-2}\sqrt{\mid x_{n}'-x_j'\mid}+2\sum_{j=1}^{n-2}\sqrt{\mid x_{n}'+x_j'\mid}+\sqrt{\mid 2x_{n-1}'\mid}+\sqrt{\mid 2x_n'\mid}$ que es equivalente a la desigualdad que necesitábamos para $n$.

Ahora, si $i=j$, tenemos que $x_i'=-x_i'\Longrightarrow x_i'=0$. Sea sin pérdida de generalidad $x_n'=0$. Como para $n-1$ la desigualdad vale:
$\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=1}^{n-1} \sqrt{\mid x_i'-x_j'\mid}\leq \sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=1}^{n-1} \sqrt{\mid x_i'+x_j'\mid}\Longrightarrow 2\sum_{i=1}^{n}\sqrt{\mid x_i'-0\mid}+\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=1}^{n-1} \sqrt{\mid x_i'-x_j'\mid}\leq 2\sum_{i=1}^{n}\sqrt{\mid x_i'+0\mid} \sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=1}^{n-1} \sqrt{\mid x_i'+x_j'\mid}\Longrightarrow \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\sqrt{|x_i'-x_j'|}\leq \sum _{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i'+x_j'|}$ que es equivalente a la desigualdad que necesitábamos para $n$.

Queda completo entonces el paso inductivo, y necesitamos demostrar los casos base $n=0$ y $n=1$. El primero nos deja $0\leq 0$ y el segundo $0\leq \sqrt{\mid 2x_1\mid}$, que es trivialmente cierto, concluyendo así la demostración.
Fallo inapelable.

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