Selectivo Ibero 2021 - P4

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Gianni De Rico

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Selectivo Ibero 2021 - P4

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Sea $a_n$ la sucesión dada por$$a_1=1,\quad a_2=1,\quad a_{n+2}=a_{n+1}+\frac{1}{a_n},\quad n=1,2,\ldots .$$Demostrar que $a_{220}>21$.
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850

EmRuzak

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Re: Selectivo Ibero 2021 - P4

Mensaje sin leer por EmRuzak »

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$a_{x-4}=f(x)$
$f(x)'>1/f(x)$
$\int{f(x)f(x)'}=\int{f(x) df(x)}=\frac{f(x)^2}{2}+c_1>\int{1 dx}=x+c_2$
$f(x)>\sqrt{2x+c}$
$f(0)=3$
$f(216)>\sqrt{2*216+9}=21$

la demostracion tiene mas agujeros que un colador pero bueno

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Fran5

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Re: Selectivo Ibero 2021 - P4

Mensaje sin leer por Fran5 »

Cómo sabes que
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atención: contenido no apto para menores
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f es derivable?
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EmRuzak

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Re: Selectivo Ibero 2021 - P4

Mensaje sin leer por EmRuzak »

Fran5 escribió:
Mié 15 Sep, 2021 2:43 pm
Cómo sabes que
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atención: contenido no apto para menores
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f es derivable?
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si, no sirve la solución, pero asi uno se puede dar cuenta que es mas o menos $\sqrt{2x+c}$ y asi se puede sacar la solución de verdad, que esta relacionada, que es básicamente demostrar que $f(x+2)^2-f(x+1)^2>2$, sin pensar tanto.

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Fran5

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Re: Selectivo Ibero 2021 - P4

Mensaje sin leer por Fran5 »

Siguiendo la idea de EmRuzak
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Tenemos $a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_{n-1}}$

Equivalentemente

$a_{n+1}^2 = a_{n+1}a_n + \frac{a_{n+1}}{a_{n-1}}$

$a_{n+1}^2 = ( a_n + \frac{1}{a_{n-1}}) a_n + \frac{a_{n+1}}{a_{n-1}}$

$a_{n+1}^2 = a_n^2 + \frac{a_n}{a_{n-1}} + \frac{a_{n+1}}{a_{n-1}} > a_n^2+2$

Para $n > 5$, tenemos $a_{n}^2 > 2n+1$, que se verifica por inducción

Luego $a_{220} > \sqrt{2 \cdot 220 +1} = \sqrt{441} = 21$

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