ONEM 2021 - Nacional - Nivel 2 - P3

Avatar de Usuario
Nando

OFO - Mención-OFO 2019
Mensajes: 186
Registrado: Mar 31 Jul, 2018 7:39 pm
Medallas: 1

ONEM 2021 - Nacional - Nivel 2 - P3

Mensaje sin leer por Nando »

Encuentre todos los polinomios $P(x)$ de coeficientes reales tales que:$$P(x+y)+P(xy)=P(x)+P(y)+P(xy+1),$$para todos los números reales $x$ e $y$.

Juaco

OFO - Medalla de Bronce-OFO 2020 OFO - Mención-OFO 2021
Mensajes: 193
Registrado: Jue 10 Oct, 2019 8:24 pm
Medallas: 2
Ubicación: Uruguay

Re: ONEM 2021 - Nacional - Nivel 2 - P3

Mensaje sin leer por Juaco »

Spoiler: mostrar
Sea $\deg (P)$ el grado del polinomio $P$. $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_1x+a_0\Rightarrow \deg \left (P(x)\right )=n$

Veamos primero que nada que $n\leq 2$
Spoiler: mostrar
$x=y: \hspace{0,3cm} P(2x)+P(x^2)=2\cdot P(x)+P(x^2+1)$

$\left .\begin{array}{c}Q_1(X)=P(2x)+P(x^2) \\ Q_2(x)=2\cdot P(x)+P(x^2+1)\end{array}\right \rbrace \Rightarrow \deg (Q_1)=\deg (Q_2)=2n$

se asume $n\geq 3$

operando vemos que el coeficiente que acompaña a $x^{2n}$ en $Q_1$ y en $Q_2$ es el mismo $(a_n)$, y nótese que no hay ningún término con $x^{2n-1}$ (o bien si se prefiere su coeficiente es $0$ a menos que $n=1$).

ahora el coeficiente $c_1$ que acompaña al $x^{2n-2}$ en $Q_1$ es $c_1=a_{n-1}$ mientras que el coeficiente $c_2$ que acompaña al $x^{2n-2}$ en $Q_2$ es $c_2=a_n\cdot n+a_{n-1}$ y como asumí que $n\geq 3$ tengo $n\geq 3>2\Rightarrow 2n-2>n$ por lo que $x^{2n-2}$ sería el segundo mayor término de ambos polinomios $Q_1$ y $Q_2\Rightarrow c_1=c_2\Rightarrow a_{n-1}=a_n\cdot n+a_{n-1}\Rightarrow a_n\cdot n=0$ pero tengo que $a_n\neq 0$ y $n\geq 3>0\Rightarrow n\neq 0$ por lo que se llega a una contradicción que parte de suponer que $n\geq 3$ por lo que el grado $n$ de los polinomios buscados sólo puede ser $n=\{0,1,2\}$
$x=y=0: \hspace{0,3cm} P(0)+P(0)=P(0)+P(0)+P(1)\Rightarrow P(1)=0$

$n=0\Rightarrow P(x)=0$
$n=1\Rightarrow P(x)=ax-a$
$n=2\Rightarrow P(x)=ax^2+bx-(a+b)$

Los $3$ casos se verifican fácil
$91$ es el menor número primo que puede escribirse como producto de $2$ números primos menores a el $(91 = 13 × 7) $

Responder