Desigualdad con lados de un triángulo.

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Vladislao

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Desigualdad con lados de un triángulo.

Mensaje sin leer por Vladislao » Sab 12 May, 2012 2:31 pm

Sean [math], [math] y [math] lados de un triángulo, demostrar que:

[math]

Este problema fue sacado de un libro... Tiene una solución "más o menos" elemental, así que estaría bueno que alguien se anime...
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

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Nacho

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Re: Desigualdad con lados de un triángulo.

Mensaje sin leer por Nacho » Sab 12 May, 2012 6:40 pm

Spoiler: mostrar
Vamos a usar la notación habitual en un triángulo: Sean [math], [math] y [math] los ángulos opuestos a los lados [math], [math] y [math] respectivamente.

Por Teorema del Coseno, tenemos que [math].

Luego queremos demostrar que, [math]
Es decir, queremos demostrar que [math].

Notemos que la función coseno es cóncava en el intervalo [math] pues su segunda derivada es [math] que es negativa en ese intervalo.

Vamos a aplicar la desigualdad de Jensen si son todos los ángulos agudos:

[math].

Luego, [math] y estamos.

Si alguno es [math] la desigualdad se vuelve trivial por Pitágoras.

Ahora, supongamos WLOG que [math] es obtuso. Tenemos que [math]. Por propiedades trigonométricas, [math].
La desigualdad se reescribe como [math].
Aplicamos Jensen, ya que [math]:

[math]. Entonces, queremos ver que [math].

Por la identidad trigonométrica del ángulo duplo, eso se reescribe como [math], que es verdad, ya que es una cuadrática en [math] cuyo discriminante es [math].

Entonces, estamos. [math]
"Though my eyes could see I still was a blind man"

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Vladislao

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Re: Desigualdad con lados de un triángulo.

Mensaje sin leer por Vladislao » Sab 12 May, 2012 7:45 pm

Posteo otra manera de concluir el problema usando solamente la desigualdad de medias geométrica y aritmética.
Spoiler: mostrar
A partir de lo que dijo Nacho, vamos a concentrarnos en probar que la suma de los cosenos de los ángulos de un triángulo no excede [math], en símbolos:

[math]

Bajo la restricción obvia de que [math]. En tal caso, [math], o sea que lo que queremos ver es en definitiva:

[math]

Para esto usamos que: [math], así que:

[math]

Si reemplazamos [math], [math], nos queda [math] y [math].

(Si asumimos que [math], es trivial ver que [math] y [math] son agudos, y por lo tanto [math])

Ahora, lo que queremos es ver:

[math]

Para esto llamemos [math] a la expresión del lado izquierdo, notemos que:

[math]

Usando la desigualdad de medias geométrica y aritmética:

[math]

Pero notemos que la expresión de la derecha es igual a:

[math]

Entonces:

[math]

Poniendo [math], tenemos que:

[math]

O sea:

[math]

La última desigualdad se debe a que [math] siempre.

En definitiva, [math], como queríamos.
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

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Ivan

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Re: Desigualdad con lados de un triángulo.

Mensaje sin leer por Ivan » Sab 12 May, 2012 9:35 pm

Spoiler: mostrar
Esta técnica para resolver desigualdades es muy cuentosa, pero suele ser útil.

Vamos a usar la siguiente notación
[math]
([math] es por cyclic, porque es una suma cíclica)

Es una abreviatura muy cómoda para trabajar con sumas como la que aparece en el problema. Tiene propiedades muy útiles para simplificar cuentas de este estilo, como
[math]
Otra propiedad importante es
[math]
Vamos a usar estas propiedades más adelante.

Queremos probar que si [math], [math], [math] son lados de un triángulo entonces
[math]
Sean [math], [math], [math] números positivos tales que [math], [math], [math].

Basta ver que si [math], [math], [math] son positivos entonces
[math]
Esto equivale a
[math]
que es equivalente a
[math]
Desarrollando un poco más
[math]
Ahora (usando las propiedades que mencionamos antes) nuestra desigualdad se reduce a
[math]
Ahora ya quedan pocos términos y lo desarrollamos a mano:
[math]
que es equivalente a
[math]
Ahora vamos a probar [math]. Por AM-GM tenemos que [math] (y las otras desigualdades al rotar [math], [math] y [math]). Sumando tenemos
[math]


que es precisamente [math].
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)

tuvie

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Re: Desigualdad con lados de un triángulo.

Mensaje sin leer por tuvie » Mar 27 Nov, 2018 3:30 pm

Dejo un comentario:
Spoiler: mostrar
Es el caso $t=1$ de la desigualdad de Schur.

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