Mirando con mucho cariño las ecuaciones del enunciado podemos interpretarlas geométricamente, y es lo que vamos a hacer
Sea $ABP$ un triángulo tal que $\angle APB= 120°$, $AP=z$ y $BP=x$, por el Teorema del Coseno tenemos que $AB^2=z^2+x^2-2zxcos(120°)=z^2+x^2+xz=16$, por lo que $AB=4$. Sea $DQC$ un triángulo tal que $DQ=x$, $CQ=\frac{y}{\sqrt{3}}$ y $\angle DQC=150°$, por el Teorema del Coseno tenemos que $DC^2=x^2+\frac {y^2}{3}-2\frac{xy}{\sqrt{3}}cos(150°)=x^2+\frac {y^2}{3}+xy=25$, por lo que $DC=5$. Por último, sea $ERF$ un triángulo rectángulo en $R$ tal que $FR=z$ y $ER=\frac{y}{\sqrt{3}}$, por el Teorema de Pitágoras tenemos que $EF^2=z^2+\frac {y^2}{3}=9$, por lo que $EF=3$. Ahora bien, tomamos nuestros 3 triángulos, y los unimos haciendo coincidir vértices de modo tal que $B=D$, $E=C$, $F=A$ y $P=Q=R$ (los lados iguales quedan pegados entre sí y $P$ queda como punto interior del triángulo $ABC$, que por el recíproco de Pitágoras termina siendo rectángulo).
Utilizando esta fórmula para el área de un triángulo y usando que $APC$ es rectángulo, tenemos que $A(APB)+A(BPC)+A(APC)= \frac {xz}{2} sin (120°)+ \frac {xy}{2\sqrt{3}}sin(150°)+ \frac {yz}{2\sqrt{3}}= zx\frac{\sqrt{3}}{4}+xy\frac{1}{4\sqrt{3}}+\frac {yz}{2\sqrt{3}}=A(ABC)=6$.
Considerando ahora la última igualdad y multiplicando a ambos lados por $4\sqrt{3}$ nos queda $xy+2yz+3zx=24\sqrt{3}$.
