Problema 4 Olimpíada Iberoamericana de Matemática del 2004

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Turko Arias

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Problema 4 Olimpíada Iberoamericana de Matemática del 2004

Mensaje sin leer por Turko Arias » Dom 27 May, 2012 1:05 am

Determinar todas las parejas [math], donde [math] y [math] son enteros positivos de dos dígitos cada uno,
tales que [math] y [math] son cuadrados perfectos de cuatro dígitos.

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Turko Arias

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Re: Problema 4 Olimpíada Iberoamericana de Matemática del 20

Mensaje sin leer por Turko Arias » Dom 27 May, 2012 2:42 am

Spoiler: mostrar
Por enunciado sabemos que [math] y que [math].
Restando ambos obtenemos:
[math] [math] [math].
Notamos que si o si uno de los dos factores tiene que ser [math] y el otro [math], ya que [math] es primo, y si alguno fuera de la forma [math], para [math] entonces sería mayor o igual a [math], y es imposible que la suma de dos números positivos de [math] cifras de eso, por lo tanto un factor es [math] y el otro [math].
Como [math] y [math] tiene [math] cifras, entonces [math] y [math]. También sabemos que [math] tiene la misma paridad que [math], ya que la diferencia entre [math] y [math] es [math] que obviamente es par. Ahora bien, como [math] y su suma es [math], podemos concluir que [math], por lo tanto, reemplazando en las igualdades que nos brinda el problema obtenemos:
[math] [math] [math].
Le adjudicamos a [math] el menor valor posible, y nos queda:
[math] [math] [math] pero como [math] es entero [math], pero como sabemos que es impar, [math].
Y como tiene [math] cifras, los posibles valores para [math] son [math]
Si [math] entonces [math], pero en este caso [math] tendría [math] cifras.
Si [math] entonces [math], pero en este caso [math] seguiría con [math] cifras.
Si [math] entonces [math], pero en este caso [math] seguiría con [math] cifras.
Si [math] entonces [math], y [math] que cumple con el enunciado.
Si [math] entonces [math] y [math] toma valor negativo, que incumple con el enunciado. Por lo tanto el único par que funciona es [math] que reemplazando en el enunciado obtenemos:
[math] y [math].

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Ivan

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Re: Problema 4 Olimpíada Iberoamericana de Matemática del 20

Mensaje sin leer por Ivan » Dom 27 May, 2012 5:48 pm

turko.cnlp escribió: Notamos que si o si uno de los dos factores tiene que ser [math] y el otro [math], ya que [math] es primo, y si alguno fuera de la forma [math], para [math] entonces sería mayor o igual a [math], y es imposible que la suma de dos números positivos de [math] cifras de eso, por lo tanto un factor es [math] y el otro [math].
No veo por qué [math] y [math] son números de dos dígitos. El único argumento que se me ocurre no alcanza: [math] y [math]. Pero esto permite concluir solamente [math].

Igual esto puede servir, porque te dice que alguno de los factores es [math] o [math] (con [math] ya te pasás).

Lo demás suena bien :P
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Re: Problema 4 Olimpíada Iberoamericana de Matemática del 20

Mensaje sin leer por Nacho » Dom 27 May, 2012 6:25 pm

[math] y [math] son de dos dígitos porque dice que [math] y [math] tienen cuatro dígitos en el enunciado, entonces, si alguno de los dos [math] o [math] tuviera tres o más digitos, [math].
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Re: Problema 4 Olimpíada Iberoamericana de Matemática del 20

Mensaje sin leer por Ivan » Dom 27 May, 2012 7:19 pm

Ah es verdad, no dije nada :P

Como curiosidad (ya que me puse a pensarlo lo posteo), si uno saca la condición de los cuatro dígitos no aparecen soluciones nuevas:

Miremos el caso [math], [math].

Se puede despejar [math] y después [math].

No es necesario encontrar para cada uno de los [math] valores posibles de [math] el [math] correspondiente y revisar si el par [math] es solución, de todos modos hay que hacer alguna cuenta que a mano sería bastante molesta para ver que [math] y [math]. Con esto estamos, ya que [math] decrece en el intervalo que nos interesa (cuando [math] está entre [math] y [math]).
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Re: Problema 4 Olimpíada Iberoamericana de Matemática del 2004

Mensaje sin leer por Joacoini » Dom 05 Ago, 2018 4:31 pm

Spoiler: mostrar
$100a+b=c^2$(1) y $201a+b=d^2$(2)
Como $a$ y $b$ tienen 2 dígitos y $c^2$ y $d^2$ 4.
$1010\leq c^2\leq 9999\Rightarrow 32\leq c\leq 99$
$2020\leq d^2\leq 9999\Rightarrow 44\leq d\leq 99$

$201a+b-100a-b=101a=d^2-c^2=(d+c)(d-c)$

Si $101$ divide a $d-c$ entonces $d+c$ divide a $a$ entonces $101\leq d-c\leq d+c\leq a$ pero a tiene 2 dígitos, contradicción y asumimos que $101$ divide a $d+c$.
$d+c\leq 99+99=198$ por lo que $d+c$ es $101$

$a=d-c\Rightarrow a+c=d$
Remplazamos en (2)
$201a+b=(a+c)^2=a^2+2ac+c^2\Rightarrow 100a+b=c^2=a^2+2ac+c^2-101a\Rightarrow 0=a^2+2ac-101a\Rightarrow 101=a+2c\Rightarrow 101-2c=a$

Remplazamos en (1)
$100×101-200c+b=c^2\Rightarrow b=c^2+200c-10100$

Como $b$ tiene 2 dígitos.
$10\leq c^2+200c-10100\leq 99\Rightarrow 10110\leq c^2+200c\leq 10199$

Jugando con la aproximación de $c$ que teníamos antes sacamos que el único valor es $c=42$, luego $a=17$, $b=64$ y $d=59$
NO HAY ANÁLISIS.

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