FOFO de Pascua 2024 Problema 2

[1000i]

Sean $a,b,c$ enteros mayores o iguales que $-1$, uno de los cuales no es $0$, tales que$$a+2b+4c=0.$$Demostrar que $a+b+c>0$.

[1000i]

Aquí publicaremos la solución oficial.

[drynshock]

Spoiler: mostrar

$a + 2b + 4c = 0$, aplicando $mod 2$ a ambos miembros obtenemos que:
$$a + 2b + 4c ≡ 0(mod 2) \Rightarrow a ≡ 0(mod 2) \therefore \boxed{a \neq -1}$$

Como $a, b, c$ no son todos 0, entonces concluimos que $b = -1 \vee c = -1$, ya que en caso de que alguno no lo sea $a + 2b + 4c > 0$ (trivial).

Caso $b = -1$

$$a + 4c = 2$$

$$a = 2 - 4c \geq 0$$

$$\frac{1}{2} \geq c \therefore c = \{0, -1\}$$


Si Si $c = 0$

$a = 2 - 4.0 \Rightarrow a = 2$

$a + b + c = 2 -1 + 0 = 1\therefore$

$1 > 0 \Rightarrow \Leftarrow$

Si $c = -1$

$ a = 2 - (4)(-1) \Rightarrow a = 6$

$a + b + c = 6 -1 - 1 = 4 \therefore$

$4 > 0 \Rightarrow \Leftarrow$

$\therefore \boxed{b \neq -1}$

Caso $c = -1$

$$a + 2b = 4$$

Como $a \geq 0$:

$$2b \leq 4$$
$$b \leq 2 \therefore b = \{0, 1, 2 \}$$

Si Si $b = 0$
$a + 2.0 = 4 \Rightarrow a = 4$

$a + b + c = 4 + 0 - 1 = 3 \therefore$

$3 > 0 \Rightarrow \Leftarrow$

Si Si $b = 1$

$a + 2.1 = 4 \Rightarrow a = 2$

$a + b + c = 2 + 1 - 1 = 2 \therefore$

$2 > 0 \Rightarrow \Leftarrow$


Si Si $b = 2$

$a + 2.2 = 4 \Rightarrow a = 0$

$a + b + c = 0 + 2 - 1 = 1 \therefore$

$1 > 0 \Rightarrow \Leftarrow$



Luego de analizar todos los casos, concluimos que si $a + 2b + 4c = 0$ entonces $a + b + c > 0$.

$\blacksquare$

[BR1]

Mi solución al problema $2$

FOFO2024P2.pdf

[Kechi]

Spoiler: mostrar

Primero notemos que a lo sumo uno de los números es cero, ya que si hay dos el tercero también debería serlo para cumplir la igualdad. Además si $b=c=−1$ luego $a=6$ y $a+b+c=4>0$ por lo que ahora consideremos que entre $b$ y $c$ a lo sumo uno es igual a $−1$.

Mirando módulo $4$:
$$a+2b+4c≡a+2b≡0\pmod4$$

Por lo que $a$ es par. Si $a≡2\pmod4$ tenemos $a≥2$ y por lo visto en el párrafo anterior $b+c≥−1+0=−1$. Si $a\equiv0\pmod4$ luego $b$ es par y entonces $a+b≥ 0+2=2$ y $c≥−1$. En ambos casos tenemos $a+b+c≥2+0−1=1>0$. $\bigstar$