El Juego del Calamar

[BR1]

(Quinto Juego) Sean $n$ y $k$ enteros positivos. Los $n$ jugadores sobrevivientes se acercan lentamente escoltados por uno de los soldados vestidos de rosa. Frente a ellos, se encuentra un puente conformado por $2k$ paneles de vidrio distribuidos en una grilla de $k$ filas y $2$ columnas. El soldado anuncia que cada uno de esos paneles es frágil o resistente. Sin embargo, todos los paneles son de igual apariencia. Además, se da a conocer que hay exactamente un panel frágil en cada fila.

Cada jugador, en su turno, debe saltar de fila en fila (pisando un panel en cada una de ellas) hasta que pise un panel frágil, el cual se romperá haciéndolo caer al vacío (inevitablemente matándolo), o llegue sano y salvo al otro lado. Los paneles resistentes pueden soportar cualquier peso.

Los jugadores se numeran del $1$ al $n$, de modo que el turno del jugador $j+1$ comenzará una vez que el turno del jugador $j$ haya terminado. Gi-hun, el protagonista, tiene mucha suerte y obtiene el número $n$.

Supongamos que todos los jugadores tienen excelente memoria, es decir, ninguno de ellos pisará un panel que sabe que es frágil. Además, nadie intentará empujar a otro o se tropezará. Calcular, en función de $n$ y $k$, la probabilidad de que Gi-hun sobreviva este juego.

[BR1]

Se me ocurrió este problema cuando estaba viendo un clip en YouTube (creo que era este) cuando uno de los jugadores se dio cuenta que la probabilidad de que sobreviviera era prácticamente nula (era uno de los primeros),$$\frac{1}{2^{15}}=\dfrac{1}{32768}\approx 0.003\%,$$así de que decidió empezar a saltar a lo loco y le acertó como cinco paneles.

[BR1]

Calcular, en función de $n$ y $k$, la probabilidad de que Gi-hun sobreviva este juego.

Una posible segunda parte al problema (que no creo que sea mucho más complicada) es la siguiente: ¿cuál es el número esperado de jugadores sobrevivientes al final del juego?

[Fedex]

Spoiler: mostrar

Sea $\mathbb{P}(n,k)$ la probabilidad de que el último jugador sobreviva siendo $n \geq 1$ jugadores y $k \geq 1$ paneles. Luego:
$$\mathbb{P}(n,k) = \frac{1}{2} \mathbb{P}(n,k-1) + \frac{1}{2} \mathbb{P}(n-1,k-1)$$
Separando en los casos donde el primer panel no se rompe / se rompe respectivamente. Esto, si dibujamos los puntos $(n,k)$ de coordenadas $\mathbb{N_0} \times \mathbb{N_0} $ implica que $\mathbb{P}$ en un punto es el promedio entre los valores de $\mathbb{P}$ de los puntos de abajo y abajo a la izquierda.
Es claro que $\mathbb{P}(n,0) = 1$ para $n \geq 1$ y $\mathbb{P}(0, k) = 0$ para $k \geq 0$. Donde además podemos extenderla por $0$ a valores en $\mathbb{Z} \times \mathbb{N_0} $ y se sigue verificando la recurrencia dicha al comienzo. Ahora, sabemos que el valor de $\mathbb{P}$ en un punto es un promedio ponderado de las imágenes de abajo, la cual podemos ir desarrollando sin problemas hasta los valores en $k=0$ por la extensión que hicimos recién. Si vemos los coeficientes con los que promediamos hacia abajo estos son:
$$
\begin{array}{lllll}
& & & & \frac{1}{1} \\
& & & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
& & \frac{1}{4} & \frac{2}{4} & \frac{1}{4}\\
& \frac{1}{8} & \frac{3}{8}& \frac{3}{8} & \frac{1}{8} \\
& & & \cdots &
\end{array}$$
Donde por un argumento del estilo del triángulo de Pascal y al ser $\mathbb{P}(a,0) = 1$ si $a > 0$ y $\mathbb{P}(a,0) = 0$ si $a \leq 0$ queda que:
$$\mathbb{P}(n,k) = \frac{\binom{k}{0}}{2^k} \mathbb{P}(n,0) + \frac{\binom{k}{1}}{2^k} \mathbb{P}(n-1,0) + \cdots + \frac{\binom{k}{k}}{2^k} \mathbb{P}(n-k,0) = \frac{\sum_{0 \leq i < \min(n, k+1)} \binom{k}{i}}{2^k}$$
Para la esperanza sale parecido.