$A$ y $B$ juegan un juego. Primero $A$ divide un pedazo de $300$ gramos de queso en $4$ rebanadas, no necesariamente iguales. A continuación, $B$ reparte, a su gusto, $280$ gramos de manteca entre dos platos. Finalmente, $A$ coloca las rebanadas de queso en estos dos platos. $A$ gana si en cada uno de los dos platos el peso del queso es mayor o igual que el peso de la manteca. En caso contrario, gana $B$. Determinar cuál de los dos puede asegurarse ganar, no importa cómo juegue el rival.
Podemos "malgastar" 1gr en los cortes de queso... eso quiere decir que si se corta 0.00001gr de manteca y tengo 1gr de queso no hay problema con el resto de la manteca y similar con 15.0001gr y 16gr, etc...
Cortes de queso: 20gr+40gr+80gr+160gr=300gr cumple ya que cualquier numero entre 0 y 280gr puede ser suma de algunos de los 4 pedazos de queso pasandome a lo sumo en 20gr.
La solución es, en efecto, que $A$ puede asegurarse ganar. Debe cortar los cuatro trozos de $20 g$, $40 g$, $80 g$ y $160 g$. Ahora veremos cómo llegar a esto y por qué este es el único movimiento ganador de $A$. Sean $q_0 \leq q_1 \leq q_2 \leq q_3$ los distintos pesos de los trozos de queso; $m_0 \leq m_1$ los distintos pesos de los trozos de manteca en cada uno de los platos.
Notemos que si $q_0 > 20$, entonces gana $B$. Pues, en este caso, sea $d = q_0 - 20$, $B$ puede jugar $m_0 < d$, y en ese caso $q_1 + q_2 + q_3 < m_1$.
Luego, si $q_0 \leq 20$, pero $q_1 > q_0 + 20$, gana $B$. Pues, en este caso, $B$ puede jugar $q_0 + 20 < m_0 < q_1$, y en ese caso $q_0 + q_2 + q_3 < m_1$.
Si seguimos, la idea intuitivamente es que, al tener $A$ $20$ gramos de más respecto a $B$, $A$ tiene que poder sumar con sus distintos trozos, todos números que no tengan más de $20$ de diferencia, porque en ese caso $B$ podría ganar.
Ahora, si $q_0 \leq 20$ y $q_1 \leq q_0 + 20$, pero $q_2 > q_1 + q_0 + 20$, gana $B$. En este caso, $B$ puede jugar $q_0 + q_1 + 20 < m_0 < q_2$, y en ese caso $q_0 + q_1 + q_3 < m_1$.
Por último, si $q_0 \leq 20$, $q_1 \leq q_0 + 20$ y $q_2 \leq q_1 + q_0 + 20$, pero $q_3 > q_2 + q_1 + q_0 + 20$, gana $B$. En este caso, $B$ podría jugar $q_0 + q_1 + q_2 + 20 < m_0 < q_3$, y entonces $q_0 + q_1 + q_2 < m_1$.
Vemos así que si $A$ hace $q_0 = 20; q_1 = 40; q_2 = 80; q_3 = 160$ es la única manera en la que cumple todas las condiciones para que no gane $B$, y al poder sumar todos los múltiplos de $20$, $A$ se asegura de que $B$ no tiene contrajuego. Por lo que $A$ se asegura ganar con ese movimiento.
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