Este me lo paso un chileno (3)

[ésta]

Decidir si es posible pintar todos los naturales de azul y rojo de modo que:
·Haya infinitos números pintados de azul.
·Haya infinitos números pintados de rojo.
·Si hay [math]2010 números pintados de azul, también el resultado de su suma está pintado de azul.
·Si hay [math]2010 números pintados de rojo, también el resultado de su suma está pintado de rojo.

[amcandio]

Spoiler: mostrar

Demostremos que existen infinitos números [math]k, tales que, [math]k esta pintado de rojo y [math]k-1 de azul.
Para esto supongamos que existe una cantidad finita de números [math]k con esa propiedad, entonces a partir de un cierto numero, no puede haber uno rojo a la derecha de uno azul, pero esto implica que luego de un momento todos los números sean azules, lo que contradice la condición de que haya infinitos números de cada color.
Análogamente demostramos que existen infinitos q tales que [math]q esta pintado de azul y [math]q-1 de rojo.
Ahora tomamos 1005 numeros de la forma [math]q, y 1005 numeros de la forma [math]k (mayores a 1), digamos [math]k_1, k_2 ... k_{1005} y [math]q_1, q_2 ... q_{1005}

Se cumple que

[math]k_1+k_2+...+k_{1005}+(q_1-1)+(q_2-1)+...+(q_{1005}-1) = (k_1-1)+(k_2-1)+...+(k_{1005}-1)+q_1+q_2+...+q_{1005}

Pero por las propiedades de los números [math]q y [math]k, los términos de la izquierda son todos rojos, y los términos de la derecha son todos azules. Pero entonces el numero [math]k_1+k_2+...+k_{1005}+(q_1-1)+(q_2-1)+...+(q_{1005}-1) no puede estar pintado ni de azul ni de rojo. Luego es imposible pintar.

[Ivan]

muy buena la solución

[amcandio]

muy buena la solución

Gracias ^^ (????) xD