$A$ y $B$ juegan al siguiente juego en un tablero cuadrado cuadriculado de $13\times 13$. $A$ tiene suficiente cantidad de fichas de $n$ colores distintos. Él comienza el juego colocando una ficha en una casilla vacía. Luego $B$ mueve esta ficha a otra casilla vacía, pero también puede elegir no tocarla (pasar). Los dos repiten las mismas movidas alternadamente. $A$ coloca una ficha y $B$ decide si moverla o no. Si una movida de cualquier jugador lleva a $7$ o más fichas del mismo color a quedar ubicadas consecutivamente en forma vertical u horizontal, estas fichas se quitan del tablero antes de la siguiente movida. El objetivo de $A$ es cubrir todas las casillas del tablero con fichas, en cuyo caso el juego se detiene y $A$ gana. El objetivo de $B$ es asegurarse de que el juego continúe indefinidamente. Determinar los valores de $n$ para los que $A$ podrá garantizar su victoria.
Aclaración: Si el tablero está completo al cabo de una movida pero hay $7$ fichas consecutivas del mismo color en una línea, estas se quitan y el juego continúa.
Como [math]13\times 13=169=28\times 6+1, si [math]n\geq 28 A puede garantizarse la victoria, ya que puede llenar [math]168 casillas usando [math]28 colores (con [math]6 fichas de cada color) y colocar en la última casilla vacía una ficha de color distinto a los anteriores, o de ser [math]n=28, colocar una ficha de un color que no tenga fichas en la columna ni en la fila de la casilla (puede hacerlo ya que habría [math]24 fichas entre la fila y la columna).
Si [math]n\leq 26, B puede asegurarse que el juego continúe indefinidamente, ya que puede organizar el tablero de la siguiente forma:
Si llamamos [math]c_1, [math]c_2,..., [math]c_n a los colores, de colocar A una ficha de color [math]c_i, B puede moverla a una casilla del número [math]i que no esté en la columna central (esa en la que hay dos números).
Si todas las casillas no-centrales del número [math]i están ocupadas, B puede moverla a la casilla central de [math]i, y de esta forma quedan 7 fichas consecutivas de color [math]c_i y las puede sacar.
De esta forma B se garantiza que el juego nunca termine, ya que la columna central nunca está ocupada al momento de jugar A.
Si [math]n=27 A también puede asegurarse la victoria, ya que si coloca [math]6 fichas de cada uno de los [math]27 colores, quedan [math]7 casillas sin una ficha. Si contamos las casillas consecutivas a estas (con un lado en común) hay a lo sumo [math]28. Si en ninguna de estas casillas hay una ficha de un determinado color,
A puede colocar en las casillas que faltan fichas de este color, y así asegurarse la victoria. Sino, es porque hay [math]26 colores con una ficha y [math]1 color con dos, o los [math]27 colores con una ficha. Ahora bien, si alguno de estos colores no tiene una tira consecutiva de [math]6 fichas (de forma tal que si A coloca una ficha de ese color, B puede movarla y eliminar las [math]7 fichas), A puede colocar fichas de este color y garantizarse la victoria. Sino, es porque las [math]7 casillas (o al menos [math]6, ya que uno de los colores puede tener dos casillas consecutivas) conforman una cruz (o sea, que los 4 colores de sus casillas consecutivas estén en una tira de [math]6 fichas de ese color, a la que se le puede añadir otra ficha en la casilla vacía), pero es absurdo ya que , como el tablero es de [math]13\times 13, la única cruz posible es cuya casilla vacía está en el centro del tablero... así que A se puede asegurar la victoria.
Por lo tanto A se puede asegurar la victoria si [math]n\geq 27.