Rioplatense 2015 - N2 P4

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Rioplatense 2015 - N2 P4

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$A$ y $B$ juegan al siguiente juego en un tablero cuadrado cuadriculado de $13\times 13$. $A$ tiene suficiente cantidad de fichas de $n$ colores distintos. Él comienza el juego colocando una ficha en una casilla vacía. Luego $B$ mueve esta ficha a otra casilla vacía, pero también puede elegir no tocarla (pasar). Los dos repiten las mismas movidas alternadamente. $A$ coloca una ficha y $B$ decide si moverla o no. Si una movida de cualquier jugador lleva a $7$ o más fichas del mismo color a quedar ubicadas consecutivamente en forma vertical u horizontal, estas fichas se quitan del tablero antes de la siguiente movida. El objetivo de $A$ es cubrir todas las casillas del tablero con fichas, en cuyo caso el juego se detiene y $A$ gana. El objetivo de $B$ es asegurarse de que el juego continúe indefinidamente. Determinar los valores de $n$ para los que $A$ podrá garantizar su victoria.

Aclaración: Si el tablero está completo al cabo de una movida pero hay $7$ fichas consecutivas del mismo color en una línea, estas se quitan y el juego continúa.
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Matías

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Re: Rioplatense 2015 - N2 P4

Mensaje sin leer por Matías »

Spoiler: mostrar
Como [math], si [math] A puede garantizarse la victoria, ya que puede llenar [math] casillas usando [math] colores (con [math] fichas de cada color) y colocar en la última casilla vacía una ficha de color distinto a los anteriores, o de ser [math], colocar una ficha de un color que no tenga fichas en la columna ni en la fila de la casilla (puede hacerlo ya que habría [math] fichas entre la fila y la columna).

Si [math], B puede asegurarse que el juego continúe indefinidamente, ya que puede organizar el tablero de la siguiente forma:

[math]

Si llamamos [math], [math],..., [math] a los colores, de colocar A una ficha de color [math], B puede moverla a una casilla del número [math] que no esté en la columna central (esa en la que hay dos números).
Si todas las casillas no-centrales del número [math] están ocupadas, B puede moverla a la casilla central de [math], y de esta forma quedan 7 fichas consecutivas de color [math] y las puede sacar.
De esta forma B se garantiza que el juego nunca termine, ya que la columna central nunca está ocupada al momento de jugar A.

Si [math] A también puede asegurarse la victoria, ya que si coloca [math] fichas de cada uno de los [math] colores, quedan [math] casillas sin una ficha. Si contamos las casillas consecutivas a estas (con un lado en común) hay a lo sumo [math]. Si en ninguna de estas casillas hay una ficha de un determinado color,
A puede colocar en las casillas que faltan fichas de este color, y así asegurarse la victoria. Sino, es porque hay [math] colores con una ficha y [math] color con dos, o los [math] colores con una ficha. Ahora bien, si alguno de estos colores no tiene una tira consecutiva de [math] fichas (de forma tal que si A coloca una ficha de ese color, B puede movarla y eliminar las [math] fichas), A puede colocar fichas de este color y garantizarse la victoria. Sino, es porque las [math] casillas (o al menos [math], ya que uno de los colores puede tener dos casillas consecutivas) conforman una cruz (o sea, que los 4 colores de sus casillas consecutivas estén en una tira de [math] fichas de ese color, a la que se le puede añadir otra ficha en la casilla vacía), pero es absurdo ya que , como el tablero es de [math], la única cruz posible es cuya casilla vacía está en el centro del tablero... así que A se puede asegurar la victoria.

Por lo tanto A se puede asegurar la victoria si [math].
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