Determinar todos los enteros positivos [math]n para los cuales es posible escribir en cada casilla de un tablero de [math]n \times n una de las letras [math]I, [math]M y [math]O, de manera tal que:
en cada fila y en cada columna, un tercio de las entradas son [math]I, un tercio son [math]M y un tercio son [math]O; y
en cada diagonal, si la cantidad de entradas de dicha diagonal es un múltiplo de tres, entonces un tercio de las entradas son [math]I, un tercio son [math]M y un tercio son [math]O.
Nota. Las filas y columnas de un tablero de [math]n \times n se numeran de [math]1 a [math]n siguiendo un orden natural. De esta forma cada casilla corresponde a un par de enteros positivos [math](i,j) con [math]1 \leq i,j \leq n. Para [math]n>1, el tablero tiene [math]4n-2 diagonales de dos tipos. Una diagonal del primer tipo consiste de todas las casillas [math](i,j) para las cuales [math]i+j es una constante, y una diagonal del segundo tipo consiste de todas las casillas [math](i,j) para las cuales [math]i-j es una constante.
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Violeta escribió:¿Y si [math]n no es divisible por 3? ¿Como se hace en ese caso para llenar las filas y columnas con un tercio de [math]I?, [math]M y [math]O?
Justamente, si [math]n no es divisible por [math]3 no se puede. El problema pide determinar todos los [math]n para los que sí se puede (que evidentemente, van a ser múltiplos de [math]3, aunque no necesariamente todos los múltiplos de [math]3).
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Vamos a demostrar que sólo cumplen los [math]n múltiplos de [math]9. Claramente [math]n es múltiplo de [math]3, es decir, [math]n=3k para algún entero positivo [math]k. Tomemos un tablero de [math]3k\times 3k que cumple las condiciones del problrma. Particionemos el tablero de [math]3k\times 3k en [math]k subtableros de [math]3\times 3. Vamos a colocar una ficha en todas las casillas de las filas cuya posición es congruente con [math]2 en el módulo [math]3, es decir, vamos a colocar una ficha en cada una de las casillas de la fila [math]2, fila [math]5, etc. Ahora, vamos a colocar una ficha en todas las casillas de las columnas cuya posición es congruente con [math]2 en el módulo [math]3 (sin importar que ya tenga una ficha). Coloquemos una ficha a todas las casillas de cada diagonal conformada por una cantidad de casillas múltiplo de [math]3 y que va en dirección de izquierda a derecha. Coloquemos una ficha en cada una de las casillas de cada diagonal conformada por una cantidad de casillas múltiplo de [math]3 y que va en dirección de derecha a izquierda.
Notemos que en cada uno de los [math]k^{2} subtablero de [math]3\times 3 (de la partición), su centro tiene cuatro fichas; y el resto de las [math]8k^{2} casillas tienen sólo una ficha. Como el tablero de [math]3k\times 3k sí se puede llenar con las condiciones del problema, llenemos el tablero con las letras [math]I, [math]M, [math]O. Luego, imaginemos que cada ficha tiene como etiqueta una de las letras [math]I, [math]M, [math]O, según corresponda, es decir, si la ficha se encuentra en una casilla con la letra [math]X, entonces su etiqueta será [math]X. Sabemos que en total hay [math]9k^{2}+3k^{2}=12k^{2} fichas etiquetadas. Supongamos que hemos ido etiquetando paso a paso de la misma manera como hemos ido colocando cada ficha, es decir, primero etiquetamos las [math]3k primeras fichas (las de la fila [math]2), luego se etiquetan las [math]3k fichas de la fila [math]5, etc. Los mismo para las columnas congruentes con [math]2 módulo [math]5 y con las diagonales con una cantidad de casillas múltiplo de [math]3. Es claro que la cantidad de etiquetas [math]I, [math]M y [math]O es la misma. Por otro lado, si sacamos una ficha por casilla, entonces hemos sacado la misma cantidad de fichas etiquetadas con [math]I, [math]M, [math]O; y sobran [math]3k^{2} fichas, pues cada centro aportó con [math]4 fichas. Note que cada centro aportó con [math]4 fichas de la misma etiqueta, pero ya hemos sacado una por cada centro. Por lo tanto, si un centro tiene las fichas etiquetadas con la [math]I, entonces deben haber otros dos centros, una con etiquetas [math]M y la otra con etiquetas [math]O, es decir, esos [math]3k^{2} se pueden agrupar en grupos de [math]9 fichas. Esto quiere decir que [math]3k^{2} es múltiplo de [math]9, lo cual implica que [math]k es múltiplo de [math]3.
A continuación mostraremos el ejemplo para [math]n=9. Si queremos para [math]n=18, sólo colocamos [math]4 veces el el tablero de [math]9\times 9, etc.
Última edición por Emerson Soriano el Lun 11 Jul, 2016 7:17 pm, editado 1 vez en total.
Vamos a colocar una ficha en todas las casillas de las filas cuya posición es congruente con [math]2 en el módulo [math]3.
Ahora, vamos a colocar una ficha en todas las casillas de las columnas cuya posición es congruente con [math]2 en el módulo [math]3.
Coloquemos una ficha a todas las casillas de cada diagonal conformada por una cantidad de casillas múltiplo de [math]3 y que va en dirección de izquierda a derecha.
Coloquemos una ficha en cada una de las casillas de cada diagonal conformada por una cantidad de casillas múltiplo de [math]3 y que va en dirección de derecha a izquierda.
Notemos que en cada subtablero de [math]3\times 3 (de la partición), su centro tiene tres fichas; y el resto de las [math]9k^{2}-k casillas tienen sólo una ficha.
