Selectivo Ibero - 2016 - Problema 1

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Matías V5

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Selectivo Ibero - 2016 - Problema 1

Mensaje sin leer por Matías V5 »

En la sucesión [math] cada dígito es igual al último dígito de la suma de los cuatro dígitos previos de la sucesión. Determinar si los cuatro números [math], los cuatro seguidos y en ese orden, aparecen en la sucesión.
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=KzTR72_srTU
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Re: Selectivo Ibero - 2016 - Problema 1

Mensaje sin leer por jujumas »

Solución:
Spoiler: mostrar
Vamos a ver que [math] aparecen en algún momento. Notemos que la sucesión tarde o temprano entra en un ciclo sin importar con que dígitos que empiece ya que cuatro términos consecutivos determinan el resto de la sucesión, y al haber solo [math] elecciones para estos cuatro, en algún momento se van a repetir los mismos cuatro dígitos consecutivos dos veces y se va a entrar en un ciclo. Notemos además que este ciclo contiene a los cuatro dígitos con los que se comience la sucesión, ya que si el ciclo empezara en el medio de la sucesión, habría dos formas distintas de llegar al ciclo (con la que se llega al principio, y con el final del ciclo), pero notemos que cuatro dígitos determinan a los dígitos anteriores, al tener la ecuación de congruencia módulo [math] [math] una única solución al saberse los valores de [math], [math], [math] y [math]. Luego, queremos probar que [math] y [math] pertenecen al mismo ciclo. Para esto, empezaremos la sucesión con [math] y llegaremos a [math]:

[math]
3  
mszew

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Re: Selectivo Ibero - 2016 - Problema 1

Mensaje sin leer por mszew »

Puede ser que el periodo siempre sea el mismo sin importar cuales son los 4 primeros terminos?
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ésta

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Re: Selectivo Ibero - 2016 - Problema 1

Mensaje sin leer por ésta »

No, si empiezo con [math], por ejemplo, tengo período [math]. Si empiezo por [math] el período es [math]. Si empiezo con [math] el período es [math].
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