Rioplatense 2016 - N1 P3

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UNREAD_POSTpor Prillo » Vie 09 Dic, 2016 8:29 pm

Se tiene un tablero con forma de triangulo equilatero de lado $2016$ dividido en $2016^2$ casillas, cada una de las cuales es un triangulo equilatero de lado $1$.
Un diamante es una ficha que ocupa exactamente dos casillas del tablero con un lado en comun.
Tres jugadores, $A$, $B$ y $C$, juegan por turnos. $A$ comienza el juego (luego juega $B$, luego $C$, luego nuevamente $A$, y asi sucesivamente). En cada turno, el jugador correspondiente coloca un diamante en el tablero, de modo que ocupe dos casillas que se encuentren vacias. El jugador que en su turno no puede colocar nungun diamante pierde el juego y los otros dos ganan. Demostrar que $B$ y $C$ pueden idear conjuntamente una estrategia que les asegure la victoria a ambos, sin importar como juegue $A$.

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Prillo
 
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Re: Rioplatense 2016 - N1 P3

UNREAD_POSTpor Matías » Dom 10 Sep, 2017 11:24 pm

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Notemos que el centro del tablero es vértice de casillas del tablero (ya que, como también es el baricentro del triángulo, está a una distancia $2:1$ respecto de un vértice y de la base opuesta a este vértice, respectivamente, y $2016$ es un múltiplo de 3).
Entonces, si $A$ coloca un diamante en el tablero,
se pueden hacer giros de $120°$ y $240°$ (tomando como centro de giro el centro del tablero) y ahí colocar $B$ y $C$ sus diamantes (o sea, donde había colocado su diamante $A$, pero girando el tablero).
Así $B$ y $C$ pueden asegurarse la victoria.

Matías
 
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