Hay que escribir un numero entero positivo en cada casilla de un tablero de [math]2016\times 2016 de modo que las [math]4032 sumas de las filas y de las columnas sean distintas. Hallar el minimo valor posible de la suma de todos los numeros del tablero.
Sean [math]s_1<s_2<....<s_{4032} las [math]4032 sumas de las columnas y filas. Al ser enteros positivos tenemos que [math]s_1\geq 2016, s_2\geq 2017, .... , s_{4032}\geq 6047 Es decir la suma [math]S de todos los números del tablero es al menos [math]\frac{2016+2017+...+6047}{2}=8063\times 1008
Vamos a demostrar que existe un tablero con dicha suma de donde quedará demostrado que es el mínimo.
Para esto dividimos el tablero en [math]4 subtableros de [math]1008\times 1008. El de arriba a la izquierda lo completamos con unos, el de abajo a la derecha con [math]2, el de arriba a la derecha vamos por filas, la primera todos unos, la segunda todos unos y el último un [math]2, la tercera todos unos y las últimas dos son [math]2, y asi cada vez agregamos un [math]2 a la derecha, hasta llegar a que la primera es uno y la demás son [math]2. El de abajo a la izquierda lo completamos con todos unos salvo la diagonal principal que la completamos con [math]2017, 2018, ...., 3024 cada una de sus casillas.
Si alguien quiere pasar el ejemplo a latex estaría agradecido