Una de conteo de mi autoría (alternante)

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Emerson Soriano

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Una de conteo de mi autoría (alternante)

Mensaje sin leer por Emerson Soriano » Vie 10 Feb, 2017 11:50 pm

Un entero positivo es llamado alternante si dos dígitos adyacentes cualesquiera son distintos. Por ejemplo, [math] y [math] son alternantes.

¿Cuántos enteros positivos pares de cinco cifras son alternantes?

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Dauphineg

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Re: Una de conteo de mi autoría (alternante)

Mensaje sin leer por Dauphineg » Sab 11 Feb, 2017 6:01 am

Spoiler: mostrar
El número alternante [math] tiene a los sumo [math] dígitos iguales a cero.
1) Si tiene solo [math] ceros hay [math] posibilidades:
[math] y [math] y son [math] casos
[math] y [math] y son [math] casos
[math] y [math] y son [math] casos
2) Si tiene solo [math] cero hay [math] posibilidades:
[math] y son [math] casos
[math] y son [math] casos
[math] y son [math] casos
[math] y son [math] casos
3) Si no tiene ningún cero son [math] casos
Sumando todos los casos nos dan [math] números enteros positivos pares alternantes de 5 cifras

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jhn
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Re: Una de conteo de mi autoría (alternante)

Mensaje sin leer por jhn » Sab 11 Feb, 2017 7:48 pm

Generalización: ¿Cuántos enteros positivos alternantes de [math] dígitos son pares?
Todo problema profana un misterio; a su vez, al problema lo profana su solución.
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Dauphineg

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Re: Una de conteo de mi autoría (alternante)

Mensaje sin leer por Dauphineg » Sab 11 Feb, 2017 9:53 pm

Spoiler: mostrar
Llamando [math] a la cantidad de números enteros positivos pares y alternantes de [math] dígitos. [math] y para todo [math]
Última edición por Dauphineg el Dom 12 Feb, 2017 9:20 pm, editado 1 vez en total.

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jhn
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Re: Una de conteo de mi autoría (alternante)

Mensaje sin leer por jhn » Dom 12 Feb, 2017 10:11 am

La recurrencia [math] está bien, pero la expresión [math] no (por ejemplo para [math] te da 39 en vez de 41).
Además se puede hallar una expresión cerrada para [math].
Todo problema profana un misterio; a su vez, al problema lo profana su solución.
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Julian_Ferres

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Re: Una de conteo de mi autoría (alternante)

Mensaje sin leer por Julian_Ferres » Dom 12 Feb, 2017 8:36 pm

La formula cerrada se puede hacer con la telescopica:
[math]

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Dauphineg

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Re: Una de conteo de mi autoría (alternante)

Mensaje sin leer por Dauphineg » Dom 12 Feb, 2017 9:19 pm

Spoiler: mostrar
Fórmula cerrada [math] la misma puede probarse fácil por inducción sobre [math] utilizando la fórmula de recurrencia [math]

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