Una de conteo de mi autoría (alternante)

Una de conteo de mi autoría (alternante)

UNREAD_POSTpor Emerson Soriano » Vie 10 Feb, 2017 11:50 pm

Un entero positivo es llamado alternante si dos dígitos adyacentes cualesquiera son distintos. Por ejemplo, $2017$ y $10135603$ son alternantes.

¿Cuántos enteros positivos pares de cinco cifras son alternantes?
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Re: Una de conteo de mi autoría (alternante)

UNREAD_POSTpor Dauphineg » Sab 11 Feb, 2017 6:01 am

Spoiler: Mostrar
El número alternante $ABCDE$ tiene a los sumo $2$ dígitos iguales a cero.
1) Si tiene solo $2$ ceros hay $3$ posibilidades:
$E=0$ y $C=0$ y son $8.9^2$ casos
$E=0$ y $B=0$ y son $8.9^2$ casos
$D=0$ y $B=0$ y son $4.9^2$ casos
2) Si tiene solo $1$ cero hay $4$ posibilidades:
$E=0$ y son $9.8^3$ casos
$D=0$ y son $4.9.8^2$ casos
$C=0$ y son $4.9.8^2$ casos
$B=0$ y son $4.9.8^2$ casos
3) Si no tiene ningún cero son $4.8^4$ casos
Sumando todos los casos nos dan $29524$ números enteros positivos pares alternantes de 5 cifras
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Re: Una de conteo de mi autoría (alternante)

UNREAD_POSTpor jhn » Sab 11 Feb, 2017 7:48 pm

Generalización: ¿Cuántos enteros positivos alternantes de $n$ dígitos son pares?
Todo problema profana un misterio; a su vez, al problema lo profana su solución.
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Re: Una de conteo de mi autoría (alternante)

UNREAD_POSTpor Dauphineg » Sab 11 Feb, 2017 9:53 pm

Spoiler: Mostrar
Llamando $A(n)$ a la cantidad de números enteros positivos pares y alternantes de $n$ dígitos. $A(1)=4$ y para todo $n\geq2, A(n)=9^{n-1}.5-A(n-1)=-1+5.\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^{n-1-i}.9^i$
Última edición por Dauphineg el Dom 12 Feb, 2017 9:20 pm, editado 1 vez en total
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Re: Una de conteo de mi autoría (alternante)

UNREAD_POSTpor jhn » Dom 12 Feb, 2017 10:11 am

La recurrencia $A(n)=9^{n-1}.5-A(n-1)$ está bien, pero la expresión $-1+5\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^{n-1-i}.9^i$ no (por ejemplo para $n=2$ te da 39 en vez de 41).
Además se puede hallar una expresión cerrada para $A(n)$.
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Re: Una de conteo de mi autoría (alternante)

UNREAD_POSTpor Julian_Ferres » Dom 12 Feb, 2017 8:36 pm

La formula cerrada se puede hacer con la telescopica:
$A(n)-A(n-2)=5(9^{n-1}-9^{n-2})=5\cdot 8 \cdot 9^{n-2}=40 \cdot 9^{n-2}$
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Re: Una de conteo de mi autoría (alternante)

UNREAD_POSTpor Dauphineg » Dom 12 Feb, 2017 9:19 pm

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Fórmula cerrada $A(n)=\frac{(-1)^n+9^n}{2}$ la misma puede probarse fácil por inducción sobre $n$ utilizando la fórmula de recurrencia $A(n)=9^{n-1}.5-A(n-1)$
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