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Publicado: **Vie 10 Feb, 2017 11:50 pm**

Un entero positivo es llamado alternante si dos dígitos adyacentes cualesquiera son distintos. Por ejemplo,

2017 y

10135603 son alternantes.

¿Cuántos enteros positivos pares de cinco cifras son alternantes?

Publicado: **Sab 11 Feb, 2017 6:01 am**

Spoiler: mostrar: El número alternante ABCDE tiene a los sumo 2 dígitos iguales a cero.
1) Si tiene solo 2 ceros hay 3 posibilidades:
E=0 y C=0 y son 8.9^2 casos
E=0 y B=0 y son 8.9^2 casos
D=0 y B=0 y son 4.9^2 casos
2) Si tiene solo 1 cero hay 4 posibilidades:
E=0 y son 9.8^3 casos
D=0 y son 4.9.8^2 casos
C=0 y son 4.9.8^2 casos
B=0 y son 4.9.8^2 casos
3) Si no tiene ningún cero son 4.8^4 casos
Sumando todos los casos nos dan 29524 números enteros positivos pares alternantes de 5 cifras

Publicado: **Sab 11 Feb, 2017 7:48 pm**

Generalización: ¿Cuántos enteros positivos alternantes de

n dígitos son pares?

Publicado: **Sab 11 Feb, 2017 9:53 pm**

Spoiler: mostrar: Llamando A(n) a la cantidad de números enteros positivos pares y alternantes de n dígitos. A(1)=4 y para todo n\geq2, A(n)=9^{n-1}.5-A(n-1)=-1+5.\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^{n-1-i}.9^i

Publicado: **Dom 12 Feb, 2017 10:11 am**

La recurrencia

A(n)=9^{n-1}.5-A(n-1) está bien, pero la expresión

-1+5\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^{n-1-i}.9^i no (por ejemplo para

n=2 te da 39 en vez de 41).
Además se puede hallar una expresión cerrada para

A(n).

Publicado: **Dom 12 Feb, 2017 8:36 pm**

La formula cerrada se puede hacer con la telescopica:

A(n)-A(n-2)=5(9^{n-1}-9^{n-2})=5\cdot 8 \cdot 9^{n-2}=40 \cdot 9^{n-2}

Publicado: **Dom 12 Feb, 2017 9:19 pm**

Spoiler: mostrar: Fórmula cerrada A(n)=\frac{(-1)^n+9^n}{2} la misma puede probarse fácil por inducción sobre n utilizando la fórmula de recurrencia A(n)=9^{n-1}.5-A(n-1)

Una de conteo de mi autoría (alternante)