Selectivo de IMO 2017 P1

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Matías V5

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Selectivo de IMO 2017 P1

Mensaje sin leer por Matías V5 » Jue 04 May, 2017 8:26 pm

Ana y Bea juegan un juego. En cada turno, Ana reemplaza un asterisco de la expresión
[math]
por uno de los dígitos [math] que no haya sido usado hasta ese momento. Bea, en su turno, reemplaza dos asteriscos con dos dígitos que aún no se hayan usado. Ana comienza el juego y las dos jugadoras se alternan con sus turnos. Bea gana si el número final de [math] dígitos es un múltiplo de [math]. En caso contrario, gana Ana. ¿Cuál de las dos jugadoras tiene una estrategia que le permita asegurarse la victoria?
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

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Johanna

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Re: Selectivo de IMO 2017 P1

Mensaje sin leer por Johanna » Jue 04 May, 2017 10:40 pm

Spoiler: mostrar
Notemos que podemos escribir al número como sigue: [math]
Viendo la expresión modulo 27 queda: [math]
Separamos a los dígitos en tres subconjuntos disjuntos [math]
Veamos que Bea puede ganar.
Separamos ahora las posiciones, en grupos de [math] consecutivas, es decir, [math]
Supongamos que Ana juega un número [math], entonces Bea agarra el subconjunto que contiene a [math] y coloca los dos números restantes del conjunto en las posiciones restantes del grupo de manera que el número de tres digitos que se forma sea multiplo de [math]. Es fácil ver que esto se puede hacer y estamos.

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