IBERO 2001 - P6

[Violeta]

i) Demostrar que es imposible cubrir un cuadrado de lado 1 con 5 cuadrados iguales de lado menor que 1/2.

ii) ?Y si los cuadrados pueden tener distintos largos de lado? (Los lados deben ser menor de 1/2, aun).

iii) Hallar la cantidad minima de cuadrados de lado menor que 1/2 requeridos para cubrir un cuadrado de lado 1. Los lados de los cuadrados pueden ser distintos.

(Las ultimas dos las anadi yo; solo la primera estaba en la prueba)

Si mal no estoy, las contestaciones son:

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ii) No.

iii) 9.

[Heibor]

¿Los cuadrados pueden salirse del cuadrado original?

[tuvie]

omaforos.com.ar/viewtopic.php?f=17&t=285&p=503
Una cota es esta.

[Gianni De Rico]

i)

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Para cubrir todo el cuadrado necesitamos colocar algunos de esos cuadraditos con lados sobre el lado del cuadrado, como los lados de los cuadraditos son menores que [math]\frac{1}{2} no nos alcanza con [math]2 cuadraditos, por lo que necesitamos al menos [math]3 cuadraditos para cubrir uno de los lados, entonces no nos alcanzan los cuadraditos para poder cubrir los [math]4 lados del cuadrado.

Versión más formal

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El área de cada cuadradito es [math]\frac{1}{5} por lo tanto el lado de cada cuadradito es [math]l=\sqrt{\frac{1}{5}}=0,447
Nuevamente, vemos que si ponemos [math]2 cuadraditos sobre un lado nos sobra un pequeño espacio, que no podemos rellenar de ninguna forma. Por lo que es imposible cubrir un cuadrado de lado 1 con 5 cuadrados iguales de lado menor que 1/2.

ii)

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Aplicando un razonamiento análogo al caso i) vemos que necesitamos al menos [math]3 cuadraditos para cubrir un lado del cuadrado, y que por lo tanto no nos alcanzan los cuadraditos para poder cubrir los [math]4 lados del cuadrado.

iii)

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Aplicando otra vez el mismo razonamiento, para cubrir un lado del cuadrado necesitamos al menos [math]3 cuadraditos, usando esto junto con el hecho de que hay que cubrir toda la superficie del cuadrado vemos que efectivamente se necesitan [math]9 cuadraditos, y un ejemplo con este número se obtiene utilizando [math]9 cuadraditos de lado [math]\frac{1}{3}.

EDIT: Vi el post de @tuvie y creo que es necesario aclarar que mi resolución es para el caso en el que los cuadraditos no pueden salirse del cuadrado.