El juego de tarjetas

[Pinga2005]

Tres jugadores juegan el siguiente juego. Hay tres tarjetas cada una con un entero positivo diferente. En cada ronda las tarjetas son distribuidas al azar a los jugadores y cada uno recibe el número de contadores en su tarjeta. Después de dos o más rondas, un jugador ha recibido [math]20, otro [math]10 y el tercero [math]9 contadores. En la última ronda el jugador con [math]10 recibió el mayor número de contadores. ¿Quién recibió el número medio en la primera ronda?

[Dauphineg]

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Como los números de las tarjetas son enteros positivos y distintos entonces la suma [math]S de los números de las tarjetas es tal que [math]S\geq 6. Dado que luego de algunas rondas (mas de una, según enunciado) la suma de los contadores recibidos por todos los jugadores es [math]39, tenemos que si fueron [math]n rondas seria [math]n.S=39.
De acá salen cuatro posibilidades que son:
[math]n=1 y [math]S=39 (que se descarta ya que [math]n\geq 2)
[math]n=39 y [math]S=1 (que se descarta ya que [math]S\geq 6)
[math]n=13 y [math]S=3 (que se descarta ya que [math]S\geq 6)
[math]n=3 y [math]S=13
Lamamos [math]X al numero mayor, [math]Y al numero medio y [math]Z al numero menor de contadores que hay entre las tarjetas.
Como son [math]3 rondas [math]X\geq 7, ya que de no ser así jamas uno de los jugadores podría terminar con [math]20 contadores.
Pero entonces la tarjeta que recibió en la ultima ronda el que tenia [math]10 contadores (al finalizar) es [math]X\geq 7 y por lo tanto entre las primeras [math]2 rondas,
este recibió [math]3 contadores como máximo. Entonces hay 2 posibilidades para las tarjetas que puedo haber recibido el que tenia [math]10 contadores(al finalizar)
en las primeras [math]2 rondas:
■ Recibió una tarjeta con el numero [math]1 en una ronda y una tarjeta con el numero [math]2 en otra ronda(sin importar el orden), en este caso seria
[math]Z=1 ,[math]Y=2 , [math]X=10-1-2=7. Pero es claro que estos no pueden ser los números de las tarjetas debido a que no hay formar de que al sumar
[math]3 de estos números nos de [math]20 contadores
■■ Recibió dos veces la misma tarjeta con el contador [math]1 y entonces en este caso seria [math]Z=1, [math]X=10-1-1=8
El jugador que tenia [math]9 contadores (al finalizar) no puedo haber recibido en ninguna ronda el contador [math]X=8 ya que en ese caso habría terminado con al menos [math]10 contadores. Luego en las primeras dos rondas quien recibió el contador [math]X=8 fue el jugador que tenia [math]20 contadores (al finalizar),
quien recibió en la ultima ronda [math]Y=20-8-8=4 contadores
Entonces el jugador que tenia [math]9 contadores (al finalizar) recibió [math]4 contadores en las primeras dos rondas y [math]1 contador en la ultima
La pregunta del problema es quien recibió [math]y=4 contadores en la primera ronda, la respuesta es el que tenia [math]9 contadores al finalizar