El juego de tarjetas

El juego de tarjetas

UNREAD_POSTpor Pinga2005 » Dom 17 Sep, 2017 1:23 pm

Tres jugadores juegan el siguiente juego. Hay tres tarjetas cada una con un entero positivo diferente. En cada ronda las tarjetas son distribuidas al azar a los jugadores y cada uno recibe el número de contadores en su tarjeta. Después de dos o más rondas, un jugador ha recibido $20$, otro $10$ y el tercero $9$ contadores. En la última ronda el jugador con $10$ recibió el mayor número de contadores. ¿Quién recibió el número medio en la primera ronda?
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Re: El juego de tarjetas

UNREAD_POSTpor Dauphineg » Mar 19 Sep, 2017 12:42 am

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Como los números de las tarjetas son enteros positivos y distintos entonces la suma $S$ de los números de las tarjetas es tal que $S\geq 6$. Dado que luego de algunas rondas (mas de una, según enunciado) la suma de los contadores recibidos por todos los jugadores es $39$, tenemos que si fueron $n$ rondas seria $n.S=39$.
De acá salen cuatro posibilidades que son:
$n=1$ y $S=39$ (que se descarta ya que $n\geq 2$)
$n=39$ y $S=1$ (que se descarta ya que $S\geq 6$)
$n=13$ y $S=3$ (que se descarta ya que $S\geq 6$)
$n=3$ y $S=13$
Lamamos $X$ al numero mayor, $Y$ al numero medio y $Z$ al numero menor de contadores que hay entre las tarjetas.
Como son $3$ rondas $X\geq 7$, ya que de no ser así jamas uno de los jugadores podría terminar con $20$ contadores.
Pero entonces la tarjeta que recibió en la ultima ronda el que tenia $10$ contadores (al finalizar) es $X\geq 7$ y por lo tanto entre las primeras $2$ rondas,
este recibió $3$ contadores como máximo. Entonces hay 2 posibilidades para las tarjetas que puedo haber recibido el que tenia $10$ contadores(al finalizar)
en las primeras $2$ rondas:
■ Recibió una tarjeta con el numero $1$ en una ronda y una tarjeta con el numero $2$ en otra ronda(sin importar el orden), en este caso seria
$Z=1$ ,$Y=2$ , $X=10-1-2=7$. Pero es claro que estos no pueden ser los números de las tarjetas debido a que no hay formar de que al sumar
$3$ de estos números nos de $20$ contadores
■■ Recibió dos veces la misma tarjeta con el contador $1$ y entonces en este caso seria $Z=1$, $X=10-1-1=8$
El jugador que tenia $9$ contadores (al finalizar) no puedo haber recibido en ninguna ronda el contador $X=8$ ya que en ese caso habría terminado con al menos $10$ contadores. Luego en las primeras dos rondas quien recibió el contador $X=8$ fue el jugador que tenia $20$ contadores (al finalizar),
quien recibió en la ultima ronda $Y=20-8-8=4$ contadores
Entonces el jugador que tenia $9$ contadores (al finalizar) recibió $4$ contadores en las primeras dos rondas y $1$ contador en la ultima
La pregunta del problema es quien recibió $y=4$ contadores en la primera ronda, la respuesta es el que tenia $9$ contadores al finalizar

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Dauphineg
 
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