El juego de tarjetas

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Pinga2005
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El juego de tarjetas

Mensaje sin leer por Pinga2005 » Dom 17 Sep, 2017 1:23 pm

Tres jugadores juegan el siguiente juego. Hay tres tarjetas cada una con un entero positivo diferente. En cada ronda las tarjetas son distribuidas al azar a los jugadores y cada uno recibe el número de contadores en su tarjeta. Después de dos o más rondas, un jugador ha recibido [math], otro [math] y el tercero [math] contadores. En la última ronda el jugador con [math] recibió el mayor número de contadores. ¿Quién recibió el número medio en la primera ronda?

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Dauphineg

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Re: El juego de tarjetas

Mensaje sin leer por Dauphineg » Mar 19 Sep, 2017 12:42 am

Spoiler: mostrar
Como los números de las tarjetas son enteros positivos y distintos entonces la suma [math] de los números de las tarjetas es tal que [math]. Dado que luego de algunas rondas (mas de una, según enunciado) la suma de los contadores recibidos por todos los jugadores es [math], tenemos que si fueron [math] rondas seria [math].
De acá salen cuatro posibilidades que son:
[math] y [math] (que se descarta ya que [math])
[math] y [math] (que se descarta ya que [math])
[math] y [math] (que se descarta ya que [math])
[math] y [math]
Lamamos [math] al numero mayor, [math] al numero medio y [math] al numero menor de contadores que hay entre las tarjetas.
Como son [math] rondas [math], ya que de no ser así jamas uno de los jugadores podría terminar con [math] contadores.
Pero entonces la tarjeta que recibió en la ultima ronda el que tenia [math] contadores (al finalizar) es [math] y por lo tanto entre las primeras [math] rondas,
este recibió [math] contadores como máximo. Entonces hay 2 posibilidades para las tarjetas que puedo haber recibido el que tenia [math] contadores(al finalizar)
en las primeras [math] rondas:
■ Recibió una tarjeta con el numero [math] en una ronda y una tarjeta con el numero [math] en otra ronda(sin importar el orden), en este caso seria
[math] ,[math] , [math]. Pero es claro que estos no pueden ser los números de las tarjetas debido a que no hay formar de que al sumar
[math] de estos números nos de [math] contadores
■■ Recibió dos veces la misma tarjeta con el contador [math] y entonces en este caso seria [math], [math]
El jugador que tenia [math] contadores (al finalizar) no puedo haber recibido en ninguna ronda el contador [math] ya que en ese caso habría terminado con al menos [math] contadores. Luego en las primeras dos rondas quien recibió el contador [math] fue el jugador que tenia [math] contadores (al finalizar),
quien recibió en la ultima ronda [math] contadores
Entonces el jugador que tenia [math] contadores (al finalizar) recibió [math] contadores en las primeras dos rondas y [math] contador en la ultima
La pregunta del problema es quien recibió [math] contadores en la primera ronda, la respuesta es el que tenia [math] contadores al finalizar
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