Ibero 2017 - P1

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Violeta

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Ibero 2017 - P1

Mensaje sin leer por Violeta » Mar 19 Sep, 2017 2:55 pm

Para cada entero positivo [math] sea [math] la suma de sus dígitos. Decimos que [math] tiene la propiedad [math] si los términos de la sucesión infinita [math] son todos pares, y decimos que [math] tiene la propiedad [math] si los términos de esta sucesión son todos impares.
Demostrar que entre todos los enteros positivos [math] tales que [math] son más los que tienen la propiedad [math] que los que tienen la propiedad [math].
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

jujumas

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Re: Ibero 2017 - P1

Mensaje sin leer por jujumas » Mar 19 Sep, 2017 7:10 pm

Solución:
Spoiler: mostrar
Afirmamos que si [math] cumple la propiedad [math], entonces [math] cumple la propiedad [math].

Para ver esto, notemos que para todo [math] para, como [math] no termina en nueve, al sumarle [math] a [math] no hay acarreos, y [math]. Viendo esta propiedad repetidas veces, obtenemos que como [math] son pares, [math] son impares, por lo que [math] cumple la propiedad [math].

Como [math] es impar, tenemos entonces que todo numero que cumple la propiedad [math] se puede agrupar con uno que cumple la propiedad [math], y como solo se analizan los números entre [math] y [math], [math] cumple la propiedad [math] y no se puede agrupar con ningún numero que cumpla la propiedad [math]. Luego, hay mas números que cumplen la propiedad [math].
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