Ibero 2017 - P1

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UNREAD_POSTpor Violeta » Mar 19 Sep, 2017 2:55 pm

Para cada entero positivo $n$ sea $S(n)$ la suma de sus dígitos. Decimos que $n$ tiene la propiedad $P$ si los términos de la sucesión infinita $n,S(n),S(S(n)),S(S(S(n))), \ldots$ son todos pares, y decimos que $n$ tiene la propiedad $I$ si los términos de esta sucesión son todos impares.
Demostrar que entre todos los enteros positivos $n$ tales que $1 \leq n \leq 2017$ son más los que tienen la propiedad $I$ que los que tienen la propiedad $P$.
Para todo $k$, existen $k$ primos en sucesión aritmética.
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Violeta
 
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Re: Ibero 2017 - P1

UNREAD_POSTpor jujumas » Mar 19 Sep, 2017 7:10 pm

Solución:
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Afirmamos que si $n$ cumple la propiedad $P$, entonces $n+1$ cumple la propiedad $I$.

Para ver esto, notemos que para todo $x$ para, como $x$ no termina en nueve, al sumarle $1$ a $x$ no hay acarreos, y $S(x+1)=S(x)+1$. Viendo esta propiedad repetidas veces, obtenemos que como $n, S(n), S(S(n)), S(S(S(n))), \ldots$ son pares, $n+1, S(n+1), S(S(n+1)), S(S(S(n+1))), \ldots$ son impares, por lo que $n+1$ cumple la propiedad $I$.

Como $2017$ es impar, tenemos entonces que todo numero que cumple la propiedad $P$ se puede agrupar con uno que cumple la propiedad $I$, y como solo se analizan los números entre $1$ y $2017$, $1$ cumple la propiedad $I$ y no se puede agrupar con ningún numero que cumpla la propiedad $P$. Luego, hay mas números que cumplen la propiedad $I$.

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jujumas
 
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