Ibero 2017 - P1

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Avatar de Usuario
Violeta

OFO - Mención-OFO 2017 FOFO 7 años - Medalla Especial-FOFO 7 años OFO - Medalla de Bronce-OFO 2018 FOFO 8 años - Mención Especial-FOFO 8 años OFO - Medalla de Plata-OFO 2019
Mensajes: 405
Registrado: Sab 04 Jun, 2016 11:50 pm
Medallas: 5
Ubicación: Puerto Rico

Ibero 2017 - P1

Mensaje sin leer por Violeta »

Para cada entero positivo [math] sea [math] la suma de sus dígitos. Decimos que [math] tiene la propiedad [math] si los términos de la sucesión infinita [math] son todos pares, y decimos que [math] tiene la propiedad [math] si los términos de esta sucesión son todos impares.
Demostrar que entre todos los enteros positivos [math] tales que [math] son más los que tienen la propiedad [math] que los que tienen la propiedad [math].
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.
jujumas

OFO - Mención-OFO 2015 OFO - Medalla de Plata-OFO 2016 FOFO 6 años - Medalla Especial-FOFO 6 años OFO - Oro perfecto-OFO 2017 FOFO Pascua 2017 - Medalla-FOFO Pascua 2017
FOFO 7 años - Medalla Especial-FOFO 7 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2018 FOFO 8 años - Jurado-FOFO 8 años OFO - Jurado-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Jurado-FOFO Pascua 2019
FOFO 9 años - Jurado-FOFO 9 años OFO - Jurado-OFO 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber
Mensajes: 402
Registrado: Dom 26 Oct, 2014 8:30 pm
Medallas: 13
Nivel: Exolímpico

Re: Ibero 2017 - P1

Mensaje sin leer por jujumas »

Solución:
Spoiler: mostrar
Afirmamos que si [math] cumple la propiedad [math], entonces [math] cumple la propiedad [math].

Para ver esto, notemos que para todo [math] para, como [math] no termina en nueve, al sumarle [math] a [math] no hay acarreos, y [math]. Viendo esta propiedad repetidas veces, obtenemos que como [math] son pares, [math] son impares, por lo que [math] cumple la propiedad [math].

Como [math] es impar, tenemos entonces que todo numero que cumple la propiedad [math] se puede agrupar con uno que cumple la propiedad [math], y como solo se analizan los números entre [math] y [math], [math] cumple la propiedad [math] y no se puede agrupar con ningún numero que cumpla la propiedad [math]. Luego, hay mas números que cumplen la propiedad [math].
1  
Responder