Dado un entero positivo [math]n, se escriben todos sus divisores enteros positivos en un pizarrón.
Ana y Beto juegan el siguiente juego:
Por turnos, cada uno va a pintar uno de esos divisores de rojo o azul. Pueden elegir el color que deseen en cada turno, pero solo pueden pintar números que no hayan sido pintados con anterioridad. El juego termina cuando todos los números han sido pintados. Si el producto de los números pintados de rojo es un cuadrado perfecto, o si no hay ningún número pintado de rojo, gana Ana; de lo contrario, gana Beto. Si Ana tiene el primer turno, determinar para cada [math]n quién tiene estrategia ganadora.
Afirmamos que Ana gana si y solo si [math]n es cuadrado perfecto o primo.
Si [math]n=1, el problema es trivial.
Si [math]n es primo, Ana pinta de azul a [math]n y gana.
Si [math]n=k^2, Ana en el primer turno pinta a [math]k de azul. De ese turno en adelante, ordena los divisores restantes [math]d_1, d_2, d_x de menor a mayor y si Beto pinta a [math]d_y, Ana pinta del mismo color a [math]d_{x-y}. Luego, como [math]d_yd_{x-y}=n, que es un cuadrado perfecto, tras todo turno de Ana, el producto de los números pintados de rojo sera una potencia de [math]n, y como la cantidad de divisores de [math]n es impar, Ana termina y gana, ya que toda potencia de [math]n es un cuadrado perfecto.
Si [math]n no es cuadrado perfecto ni primo, tomemos un primo [math]p tal que [math]p\mid n. Llamamos especiales a los divisores de [math]n que incluyen a [math]p elevado a una potencia impar. Afirmo entonces que [math]n tiene al menos dos divisores especiales. Para ver esto, notemos que si [math]n no es potencia de un primo entonces tiene otro divisor primo [math]q, y [math]p y [math]pq son especiales, y si no es potencia de un primo, entonces, como [math]n no es primo ni cuadrado, es al menos el cubo de un primo y [math]p y [math]p^3 son divisores especiales de [math]n.
Notemos ahora que [math]n tiene una cantidad par de divisores. La estrategia de Beto consistirá entonces en colorear divisores no especiales o bien hasta que no queden divisores especiales o hasta que Ana deje un solo divisor especial sin colorear. Notemos que como [math]n es par y Ana empieza, Beto nunca va a estar forzado a colorear el anteultimo divisor especial, porque esto implicaría que solo queda otro divisor por colorear. Luego, al colorear Ana el anteultimo divisor especial, Beto coloreara el ultimo divisor especial que queda según la paridad del exponente al cual [math]p esta elevado, de forma que tras el turno de Beto [math]p este elevado a una potencia impar entre todos los divisores pintados de rojo. Como todos los divisores restantes son no especiales, la paridad del exponente de [math]p seguirá siendo entonces la misma hasta el final del juego, por lo que al terminar este, [math]p estará elevado a una potencia impar y Beto ganara el juego.
Veamos que Ana gana para todo $n$ cuadrado perfecto y $n$ primo. Si $n$ es primo, Ana pinta $n$ de azul y ya garantiza victoria. Si $n$ es un cuadrado perfecto, digamos $n=k^2$, primero Ana pinta a $k$ de azul. Luego de eso, si en su ultimo turno Beto pinta a $p$ de un color, Ana pinta a $\frac{k^2}{p}$ de ese mismo color. Asi, el producto de todos los numeros es un cuadrado perfecto o son todos azules.
De otro modo, digamos que en $n$ hay un primo con exponente impar, digamos $p$. Digamos que en $n$ hay $k$ divisores de $n$ con exponente de $p$ par y $k$ divisores de $n$ con exponente de $p$ impar. Diremos que un numero es par si su exponente de $p$ es par e impar si su exponente de $p$ es impar.
Caso 1: $k$ es par.
Si Ana pinta un numero par, Beto pinta un numero par, no importa un color.
Si Ana pinta un numero impar, Beto pinta un numero impar de eso mismo color EXCEPTO si el numero impar que Ana pinto es el penultimo. En ese caso, Beto pinta el ultimo numero impar de tal forma que la cantidad de numeros impares pintados de rojo sea impar. Asi, el exponente de $p$ en el producto de los numeros rojos va a ser impar y gana Beto.
Caso 2: $k$ es impar.
En su primer turno, Beto pintara un numero de paridad opuesta al primero que pinto Ana, color no importa.
En sus proximos turnos, Beto juega con las mismas reglas que en el Caso $1$ y gana.
En efecto, pensandolo bien, no importa como los pinten Beto y Ana, lo unico que importa es que Beto siempre va a poder pintar el ultimo numero impar.
Para todo [math]k, existen [math]k primos en sucesión aritmética.
