Josélito

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LeonS
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Josélito

Mensaje sin leer por LeonS » Dom 12 Nov, 2017 10:38 am

José fue encarcelado. Tiene que permanecer [math] días en la cárcel, luego decide anotar todos los días una línea en la pared. El primer día dibuja una línea recta (en manera casual), pero a partir del segundo día arroja una moneda: si sale cabeza, dibuja una recta paralela a la primera, si sale cruz, dibuja una línea recta perpendicular a la primera. ¿Cuál es el número promedio de regiones en el cual el plan al cual apertenece la pared está dividido por estas líneas, cuando José sale de prisión?
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jhn
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Re: Josélito

Mensaje sin leer por jhn » Mié 15 Nov, 2017 12:16 pm

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Hay $\binom{n}{k}$ maneras de trazar $k$ rectas paralelas y $n-k$ rectas perpendiculares a la primera, y cada una de esas maneras divide al plano en $(k+2)(n-k+1)$ regiones. Luego el promedio buscado es $2^{-n}\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}(k+2)(n-k+1)$.
Como $(k+2)(n-k+1)=2(n+1)+(n-2)k-k(k-1)$ y además es sabido (y se prueba fácilmente) que
que $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}=2^n$, $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}k=n2^{n-1}$ y $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}k(k-1)=n(n-1)2^{n-2}$, queda finalmente
$ 2(n+1)+\frac{1}{2}n(n-2)-\frac{1}{4}n(n-1)=\frac{1}{4}(n^2+5n+8). $
Todo problema profana un misterio; a su vez, al problema lo profana su solución.
www.jhnieto.org

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