Nacional 2017 N2 P2

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BrunoDS

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Nacional 2017 N2 P2

Mensaje sin leer por BrunoDS » Sab 18 Nov, 2017 4:12 pm

Diremos que un conjunto de números enteros positivos es regular si, para toda elección de números del conjunto, la suma de los números elegidos es distinta de $1810$. Dividir el conjunto de los números enteros desde $452$ hasta $1809$ inclusive en la menor cantidad posible de conjuntos regulares.
$B > \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n x_i$

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Gianni De Rico

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Re: Nacional 2017 N2 P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 29 Jun, 2018 3:14 pm

Creo que era así
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El conjunto $A=\{452,453,\ldots ,603,604\}$ es regular puesto que $602+603+604=1809$ y $452+453+454+455=1814$, es decir que sumando $3$ números no llego a $1810$ y sumando $4$ números me paso.
El conjunto $B=\{605,606,\ldots ,904,905\}$ es regular puesto que $904+905=1809$ y $605+606+607=1818$, es decir que sumando $2$ números no llego a $1810$ y sumando $3$ números me paso.
Los números del conjunto $C=\{1359,1360,\ldots ,1808,1809\}$ pueden ir en cualquier conjunto puesto que $1359+452=1811$, es decir que si les sumo algún número me paso de $1810$.
El conjunto $D=\{906,907,\ldots ,1357,1358\}$ es regular puesto que $906+907=1813$, es decir que si sumo $2$ números me paso de $1810$.

Sea $D'=\{906,907,\ldots ,1204,1205\}$, veamos que $A\cup D'$ es regular:
Spoiler: mostrar
Tenemos $452+453=905>904=1810-906$, entonces si sumo $2$ números de $A$ y $1$ número de $D'$ me paso de $1810$. Y como $604<605=1810-1205$, si sumo $1$ número de $A$ y $1$ número de $D'$, no llego a $1810$
Por lo tanto $A\cup D'$ es regular
Sea $D''=\{1206,1207,\ldots ,1357,1358\}$, veamos que $B\cup D''\cup C$ es regular:
Spoiler: mostrar
Tenemos $605>603=1810-1207$, entonces si sumo $1$ número de $B$ y $1$ número de $D''$ me paso de $1810$, por lo tanto $B\cup D''$ es regular. Y dijimos que $C$ puede ir con cualquier otro conjunto, entonces $B\cup D''\cup C$ es regular
Sea $E=\{452,453,\ldots ,1808,1809\}$, vemos que $E$ no es regular puesto que $904,906\in E$ y $904+906=1810$. Entonces no podemos poner los números en un sólo conjunto y que éste sea regular, por lo tanto necesitamos al menos $2$ conjuntos.
Los $2$ conjuntos $F=A\cup D'=\{452,453,\ldots ,603,604,906,907,\ldots ,1204,1205\}$ y $G=B\cup D''\cup C=\{605,606,\ldots ,904,905,1207,1208,\ldots ,1808,1809\}$ son regulares, y no es posible dividir el conjunto en menos conjuntos regulares.
[math]

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