Nacional 2017 N3 P1

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Gianni De Rico

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Nacional 2017 N3 P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Lun 20 Nov, 2017 10:10 pm

Nico elige $13$ números enteros positivos distintos de $3$ dígitos cada uno. Luego Ian selecciona varios de estos $13$ números, los que quiera, y utilizando una sola vez cada número seleccionado y algunas de las operaciones suma, resta, multiplicación y división $(+,-,\times ,:)$ debe obtener una expresión cuyo valor sea mayor que $3$ y menor que $4$. Si lo logra, gana Ian; en otro caso, gana Nico. ¿Cuál de los dos tiene estrategia ganadora?
[math]

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Re: Nacional 2017 N3 P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Lun 04 Dic, 2017 11:01 pm

Spoiler: mostrar
Consideremos los $8$ intervalos
$[100;133]$
$[134;178]$
$[179;238]$
$[239;318]$
$[319;425]$
$[426;567]$
$[568;757]$
$[758;999]$

Si dos números $x>y$ pertenecen a alguno de estos intervalos, cumplen $1<\frac{x}{y}<\frac{4}{3}$. Si encontramos $3$ pares de números que cumplan eso, entonces su suma será $3<\frac{x_1}{y_1}+\frac{x_2}{y_2}+\frac{x_3}{y_3}<4$. Por lo que Ian ganará. Por lo tanto, Nico no puede elegir los números de forma tal que haya $5$ o menos intervalos con a lo sumo un número. Además, por Palomar habrá al menos un intervalo con al menos $2$ números.

Si hay $6$ intervalos con a lo sumo un número, en los otros dos habrá por lo menos $13-6=7$ números, y por Palomar uno de ellos tiene al menos $4$ números. Si tiene $4$, el otro tiene $3$, por lo tanto, podemos armar los $3$ pares de números. Si tiene $5$, el otro tiene $2$ y podemos armar los $3$ pares de números.

Si hay $7$ intervalos con a lo sumo un número, entonces el restante tiene $6$ números, y podemos armar los $3$ pares de números.

Entonces si Nico elige $5$ o menos intervalos con a lo sumo un número pierde, y si elige $6$ o más también pierde. Luego, Ian gana siempre.
[math]

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