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Gianni De Rico

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Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Lun 20 Nov, 2017 11:46 pm

Un rectángulo, que no es un cuadrado, y que está cuadriculado en cuadraditos de $1\times 1$ se divide en exactamente $8$ figuras poligonales distintas siguiendo líneas de la cuadrícula. Determinar cuál es el menor valor posible del área del rectángulo inicial.
[math]

bruno
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Re: Nacional 2017 N1 P1

Mensaje sin leer por bruno » Mar 21 Nov, 2017 4:01 am

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Las figuras $8$ figuras poligonales, al querer minimizar el area del rectangulo, deben tener la menor cantidad posible de cuadraditos. Luego clasifico las distintas figuras poligonales segun la cantidad de cuadraditos que la forman (entendiendo que si una figura es igual a otra si la puedo obtener a partir de una rotacion de la primera).

- De $1$ cuadradito : Imagen

- De $2$ cuadraditos: Imagen

- De $3$ cuadraditos: Imagen Imagen

- De $4$ cuadraditos: Imagen Imagen Imagen Imagen

Tengo ya $8$ figuras distintas con el minimo numero de cuadraditos, por lo tanto el minimo numero de cuadraditos que tendria el rectangulo seria

$1+2+2 \times 3+ 4 \times 4=25$

Si el rectangulo tiene $25$ cuadraditos entonces solo puede ser de $1 \times 25$ o de $5 \times 5$. La primera opcion no sirve pues por la forma de las figuras, el rectangulo debe tener mas de una fila y mas de una columna. La segunda opcion tampoco sirve pues es un cuadrado.

Entonces el minimo numero de cuadraditos pasaria a ser $26$, para el cual si se puede conseguir lo pedido. Por ejemplo Imagen


Por lo tanto la minima area del rectangulo es $26$
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Gianni De Rico

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Re: Nacional 2017 N1 P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mar 05 Dic, 2017 8:29 pm

Spoiler: mostrar
Otra forma de justificar que con $1\times 25$ no se puede es que todas las fichas tendrían que ser de $1\times k$, con $1\le k\le 8$, y todos de distinto largo, ya que deben ser distintas. Por lo tanto el área mínima sería $1+2+3+4+5+6+7+8=36$
[math]

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