Nacional 2017 N1 P4

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Gianni De Rico

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Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mar 21 Nov, 2017 12:22 am

En cada cara de un cubo hay escrito un número entero positivo. A cada vértice del cubo se le asignó la multiplicación de los números de las tres caras que tienen ese vértice en común. La suma de los $8$ números asignados a los vértices es $315$. Determinar la suma de los números de las caras (dar todas las posibilidades).
[math]

mszew

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Re: Nacional 2017 N1 P4

Mensaje sin leer por mszew » Mar 21 Nov, 2017 4:58 pm

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Sean $a_1 y a_2; b_1 y b_2; c_1 y c_2$ las caras opuestas entonces
\begin{align*}
315&=a_1xb_1xc_1+ a_1xb_1xc_2+ a_1xb_2xc_1+ a_1xb_1xc_2+ a_2xb_1xc_1+ a_2xb_1xc_2+ a_2xb_2xc_1+ a_2xb_1xc_2\\
&=(a_1+a_2)x(b_1+b_2)x(c_1+c_2),
\end{align*} entonces hay que descomponer $315$ en tres factores mayores que $1$

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