Nacional 2017 N1 P6

Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial
Mensajes: 777
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 1
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Nacional 2017 N1 P6

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mar 21 Nov, 2017 12:33 am

Facu y Nico juegan un juego con un cuadrado cuadriculado de $13\times 13$. Con una tijera Facu divide completamente el cuadrado en rectángulos con un lado igual a $1$, siguiendo las líneas de la cuadrícula, en cualquier modo que quiera. Luego Nico elige un número entero $k$ entre $1$ y $13$ inclusive y toma todos los rectángulos de $1\times k$ que haya entre los cortados por Facu. Determinar el mayor número de cuadritos de la cuadrícula que Nico puede estar seguro de tener en total entre todos los rectángulos que tomó.
[math]

Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial
Mensajes: 777
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 1
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Re: Nacional 2017 N1 P6

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 02 Dic, 2017 7:26 pm

Spoiler: mostrar
Primero que nada, notemos que el cuadrado está dividido en $13\times 13=169$ cuadraditos y que Facu recortó todos los rectángulos, es decir, la cantidad de cuadraditos disponibles va a ser siempre $169$. Vamos a dividir los rectángulos en grupos según el valor de $k$. Si todos los grupos tienen menos de $16$ cuadraditos entonces si nos armamos una tabla con la máxima cantidad de rectángulos que puede tener cada grupo y la cantidad correspondiente de cuadraditos nos queda así:

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline
k & \text{Rectángulos} & \text{Cuadraditos}\\ \hline
1 & 15 & 15 \\ \hline
2 & 7 & 14 \\ \hline
3 & 5 & 15 \\ \hline
4 & 3 & 12 \\ \hline
5 & 3 & 15 \\ \hline
6 & 2 & 12 \\ \hline
7 & 2 & 14 \\ \hline
8 & 1 & 8 \\ \hline
9 & 1 & 9 \\ \hline
10 & 1 & 10 \\ \hline
11 & 1 & 11 \\ \hline
12 & 1 & 12 \\ \hline
13 & 1 & 13 \\ \hline
\end{array}$

Pero $15+14+15+12+15+12+14+8+9+10+11+12+13=160<169$, entonces sobran cuadraditos que no están en ningún grupo. Por lo tanto, no puede pasar que todos los grupos tengan menos de $16$ cuadraditos, entonces tiene que existir al menos un grupo con al menos $16$ cuadraditos. Esto nos dice que Nico siempre puede estar seguro de tener por lo menos $16$ cuadraditos. Ahora vamos a ver una forma que tiene Facu de recortar los rectángulos para que Nico no pueda tener más de $16$ cuadraditos, sin importar qué grupo elija.

Nacional 2017 N1 P6.png


Si hacemos la misma tabla que antes, nos queda así:

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline
k & \text{Rectángulos} & \text{Cuadraditos}\\ \hline
1 & 15 & 15 \\ \hline
2 & 8 & 16 \\ \hline
3 & 5 & 15 \\ \hline
4 & 4 & 16 \\ \hline
5 & 3 & 15 \\ \hline
6 & 2 & 12 \\ \hline
7 & 2 & 14 \\ \hline
8 & 2 & 16 \\ \hline
9 & 1 & 9 \\ \hline
10 & 1 & 10 \\ \hline
11 & 1 & 11 \\ \hline
12 & 1 & 12 \\ \hline
13 & 1 & 13 \\ \hline
\end{array}$

De esta forma, Nico no puede llevarse más de $16$ cuadraditos.


Entonces vimos que Nico siempre puede tener al menos $16$ cuadraditos, y un ejemplo en el que no puede tener más que $16$, por lo tanto, el mayor número de cuadritos de la cuadrícula que Nico puede estar seguro de tener en total entre todos los rectángulos que tomó es $16$
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
1  
[math]

Responder