Rioplatense 2017 - N1 P2

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ésta

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Rioplatense 2017 - N1 P2

Mensaje sin leer por ésta » Vie 08 Dic, 2017 5:39 pm

Sobre la mesa hay $13$ tarjetas. Cada tarjeta tiene escritos dos números enteros positivos, uno en color azul y otro en color verde.
Hay que seleccionar $3$ tarjetas de manera que la suma de los tres números azules escritos en ellas sea múltiplo de $3$ y la suma de los tres números verdes también sea múltiplo de $3$.
Demostrar que siempre es posible lograrlo, sin importar qué números estén escritos en las $13$ tarjetas.
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Emerson Soriano

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Re: Rioplatense 2017 - N1 P2

Mensaje sin leer por Emerson Soriano » Mié 27 Dic, 2017 6:24 pm

Spoiler: mostrar
Cada tarjeta la denotaremos por $(a, b)$ donde $a$ es el número azul y $b$ es el número verde de esa tarjeta.

En el módulo $3$ hay $9$ tipos de tarjetas. Estos nueve tipos los separamos en $3$ grupos:

Grupo 1: $(0,0)$, $(0,1)$ y $(0,2)$.

Grupo 2: $(1,0)$, $(1,1)$ y $(1,2)$.

Grupo 3: $(2,0)$, $(2,1)$ y $(2,2)$.

Si entre las $13$ tarjetas que tenemos, hay $3$ del mismo grupo, entonces estas $3$ tarjetas son las que debemos seleccionar.

Si entre las $13$ tarjetas que tenemos, no hay $3$ del mismo grupo, entonces de cada grupo hay a lo sumo $2$, así, entre las $13$ tarjetas hay a lo sumo $6$ tipos. Por el principio de las casillas, existen $3$ tarjetas que son del mismo tipo. Luego, basta con seleccionar estas $3$ tarjetas y tenemos lo que queremos.

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jhn
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Re: Rioplatense 2017 - N1 P2

Mensaje sin leer por jhn » Mar 02 Ene, 2018 8:57 am

Emerson Soriano escribió:
Mié 27 Dic, 2017 6:24 pm
Si entre las 13 tarjetas que tenemos, no hay 3 del mismo grupo, entonces de cada grupo hay a lo sumo 2, así, entre las 13 tarjetas hay a lo sumo 6 tipos...
¿De dónde sacas eso? Más bien sale que hay al menos de 7 grupos distintos.
Todo problema profana un misterio; a su vez, al problema lo profana su solución.
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jhn
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Re: Rioplatense 2017 - N1 P2

Mensaje sin leer por jhn » Mar 02 Ene, 2018 9:07 am

Spoiler: mostrar
Clasifiquemos las tarjetas en 3 grupos, según el resto módulo 3 de su número azul. Entonces debe haber al menos 5 tarjetas con sus números azules congruentes módulo 3. Si hay 3 de ellas con sus números verdes congruentes módulo 3, esas tres sirven. Si no, debe haber 3 tales que sus números verdes son congruentes módulo 3 con 0, 1 y 2, en algún orden, y esas tres sirven.
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