Una boda con mucha gente.

[Violeta]

Invité a $2018$ parejas de personas a mi boda. Éramos $4038$ personas, incluyéndome a mí y a mi esposa. Cada persona saludó a un número de personas, posiblemente $0$, pero nadie saludó a su pareja (ni a sí mismo, claro). Luego de la fiesta, le pregunté a todos (incluyendo a mi esposa y excluyéndome a mí) cuántas personas saludaron y terminó que todos saludaron un número distinto de personas.

¿Cuántas personas saludó mi esposa?

[Gianni De Rico]

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Si en la fiesta hubo $2k$ personas (con $k$ entero positivo), entonces cada persona saludó como mucho a $2k-2$ personas (no se auto-saluda ni saluda a su pareja). Supongamos que todos saludaron a por lo menos $1$ persona, notemos que hay exactamente $2k-2-1+1=2k-2$ enteros $x$ que cumplen $1\leqslant x\leqslant 2k-2$, que son la cantidad de personas que saludó cada participante, pero hay $2k-1$ participantes en la fiesta, se sigue por Palomar que dos participantes saludaron a la misma cantidad de personas. Absurdo!!
El absurdo provino de suponer que todos saludaron a por lo menos $1$ persona, luego, alguien saludó a $0$ personas, entonces la cantidad de saludos de los participantes son todos los números entre $0$ y $2k-2$. Llamamos "sociable" al que saludó a $2k-2$ personas, y "tímido" al que saludó a $0$ personas. Notemos que si una persona no es pareja con el tímido puede saludar como mucho a $2k-3$ personas (no se auto-saluda, no saluda a su pareja ni al tímido), luego, ninguno de estos es sociable. Se sigue que el sociable es pareja con el tímido, llamamos "importante" a esta pareja.

Si sacamos a la pareja importante de la fiesta, todos los participantes reducen en exactamente $1$ el número de personas que saludaron, en particular, tenemos un nuevo tímido y un nuevo sociable, que deben ser pareja. Se sigue que si mi esposa saludó a $n$ personas en una fiesta con $2k-2$ personas, entonces saludó a $n+1$ en una fiesta con $2k$ personas, más aún, sólo saluda a una persona de cada pareja. Luego, por inducción, mi esposa saluda a $k-1$ personas en la fiesta. Sólo nos falta probar el caso base, con una única pareja invitada, pero como hay $3$ personas (sin contarme a mí), las posibles respuestas son $0,1,2$, pero $2$ es el sociable, luego, $2$ y $0$ son pareja, entonces mi esposa saludó sólo a $1$ persona. Por lo tanto probamos el caso base y la inducción está completa.

En este caso en particular, mi esposa saluda a $2018$ personas.