Selectivo de IMO 2018 - Problema 3

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Matías V5

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Selectivo de IMO 2018 - Problema 3

Mensaje sin leer por Matías V5 » Vie 04 May, 2018 3:47 pm

En un tablero de $100 \times 100$ cada casilla está coloreada de blanco o de negro, todas las casillas del borde del tablero son negras. Además ningún cuadrado de $2 \times 2$ contenido en el tablero tiene sus cuatro casillas del mismo color. Demostrar que el tablero contiene un cuadrado de $2 \times 2$ coloreado como el tablero de ajedrez.
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enigma1234

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Re: Selectivo de IMO 2018 - Problema 3

Mensaje sin leer por enigma1234 » Vie 04 May, 2018 11:03 pm

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Pintamos cada segmento solo si este pertenece a 2 cuadrados que están pintados con distintos colores,por contradicción supongamos que no existe ningún cuadrado pintado como ajedrez,es claro que en vez de analizar un cuadrado de $2×2$ podemos analizar los segmentos que pasan por el centro de este cuadrado que forman "la cruz" de dicho punto (el del centro).

Analizando todas las formas de pintar un cuadrado de $2×2$ vemos que solo en la cruz puede haber 0 o 2 o 4 segmentos pintados,donde se da el primer caso si y solo si todas las casillas de ese cuadrado son del mismo color y el segundo caso es si y solo si el cuadrado tiene sus casillas como un tablero de ajedrez y dado que ningún casa puede darse por lo que hemos supuesto, entonces en una cruz siempre hay exactamente 2 segmentos pintados.
Es claro que como todas las casillas del borde son pintados de negro,entonces todos los segmentos del borde y los que pertenecen a 2 casillas del borde no están pintados,llamemos estos segmentos del tipo 1 y los demás del tipo 2 sea $m $ la cantidad de segmentos pintados en el tablero, esto es lo mismo que la cantidad de segmentos pintados del tipo 2 .
20180504_222656-1-1.jpg

En el tablero pintamos los vértices que no están en el borde de rojo y verde como ajedrez. Es facil ver que hay $\frac {999^2+1}{2} $ vertices rojos y ${999^2-1}{2}$ vertices verdes. Es claro que todas las cruces de los vértices rojos son disjuntas entonces la cantidad de segmentos pintados en estas cruces es el doble de la cantidad de vértices que es $999^2+1$ y también es fácil ver que cada la union de estas cruces es todos los segmentos de tipo 2 más algunos del tipo 1 entonces como los del tipo 1 no están pintados la cantidad de segmentos pintados en la unión es la cantidad de segmentos pintados del tipo 2 que es $m $ entonces $m=999^2+1$.
No es difícil ver que podemos hacer un análisis similar con los vértices verdes y con estos llegamos a que $m=999^2-1$ uniendo ambos resultados tenemos una contradicción.

Por lo tanto si existe un cuadrado de $2×2$ de ese tipo
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