APMO 2018 - P3

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Gianni De Rico

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APMO 2018 - P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Lun 25 Jun, 2018 8:44 pm

Un conjunto de $n$ cuadrados en el plano se llama tri-conectado si satisface las siguientes condiciones:
(i) Todos los cuadrados son congruentes.
(ii) Si dos cuadrados tienen un punto $P$ en común, entonces $P$ es un vértice de cada uno de los cuadrados.
(iii) Cada cuadrado toca exactamente otros tres cuadrados.

¿Cuántos enteros positivos $n$ con $2018\leqslant n\leqslant 3018$ cumplen que hay un conjunto tri-conectado de $n$ cuadrados?
[math]

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Re: APMO 2018 - P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 14 Jul, 2018 11:56 pm

Spoiler: mostrar
Decimos que dos cuadrados que tienen un vértice en común están conectados, y llamamos conexión a dicho vértice. Como cada cuadrado está conectado con otros $3$ cuadrados, en total hay $3n$ conexiones, pero estamos contando dos veces cada conexión, luego, $2\mid 3n\Rightarrow 2\mid n$.
Veamos que hay un conjunto tri-conectado para todo $n$ par mayor o igual a $36$:
APMO 2018 P3.png
Entonces hay $\left \lceil \frac{3018-2018+1}{2}\right \rceil =\left \lceil \frac{1001}{2}\right \rceil =501$ enteros positivos $n$ con $2018\leqslant n\leqslant 3018$ que cumplen que hay un conjunto de $n$ cuadrados tri-conectado
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3  
[math]

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